动态规划-最长连续子序列和与最大子矩阵

问题：给一列数n个，求最大连续子序列和（即连续的子序列中和最大的序列）若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素 

拓展：给一个n*n的矩阵，求其中和最大的子矩阵（即所有子矩阵中和最大的阵）

首先也是从最简单的着手，拿到问题，很容易想到的就是直接爆搜(求所有可能的子序列和并找出最大的即可)时间复杂度为n^2

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>

#define N 10002
/*
problem:求最大连续子序列的问题dp
time：n^2
*/

int main(){
    int a[N],i,j,maxx,sum,n,ps,pe;

    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }

    maxx = INT_MIN;//初始为最小整数
    for(i=0;i<n;++i){
        sum = 0;
        for(j=i;j<n;++j){//i，j两个子循环来遍历所有的子序列并计算其和(a[i]加到a[j])
            sum += a[j];
            if(sum>maxx){//把和大的保留并记录下最大序列的始末位置ps、pe
                maxx = sum;
                ps = i;
                pe = j;
            }
        }
    }
    printf("%d %d %d
",maxx,a[ps],a[pe]);
}

上面的这段代码思路非常的清晰也便于理解，但是数据量大的话时间消耗也会很大，当然ACM的要求肯定是达不到了，现在做时间复杂度为n的算法来解决该问题。

该算法基于的思想也很简单，最大连续子序列和的第一个元素不可能是负数，这点很好证明（反证），假设a[i…j]为最大的连续子序列且a[i]为负，那我a[i+1…j]的和将会大于a[i…j]的和，所以与原假设矛盾，这就能推出最大子序列和的第一个元素不可能是负数。得到这个结论我们就可以进一步进行推广，那就是如果一个子序列的和为负数，那么这个序列不可能是最大连续子序列中的开始的一段序列（类似于第一个元素的方法可得到证明即把这段和看做是一个元素）。根据这一思想就可以得到本体线性的算法。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>

#define N 10002

int main(){
    int a[N],maxx,i,n,sum,ps,pe,ts,te;

    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
    }

    sum = 0;
    maxx = INT_MIN;

    for(i=0;i<n;++i){
        if(sum<=0){//如果前面的和为负，则前面的序列舍掉从本元素开始重新确定新序列
            sum = a[i];
            ts = i;
            te = i;
        }else{//如果前面的和为正，则可能出现在最大序列中，所以要继续累加
            sum += a[i];
            te = i;
        }

        if(sum>maxx){//记录下最大子序列和及起始和结束位置
            maxx = sum;
            ps = ts;
            pe = te;
        }
    }

    printf("%d %d %d
",maxx,a[ps],a[pe]);
    return 0;
}

至此，最大连续子序列问题得到解决。

下面记录下最大子矩阵和的求法。

其实最大子矩阵和的算法就是最大连续子序列的一个拓展问题，思路很简单，就是将矩阵先预处理下，按列累加，然后通过三个循环变量来遍历所有的子矩阵，对每个子矩阵以列和为元素转化为n个元素序列求最大连续子序列的问题就可以了。

题目是这样的：http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1139

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。
给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 1)子矩阵。
比如，如下4 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。

最开始我的分析是这样的：要确定一个矩阵至少得4个元素，即4个角；或者起始坐标以及长度宽度。我们可以遍历每个顶点以及每种边长。
可是这样的复杂度简直是爆炸的。

直觉告诉我，只能用动态规划了。
因为动态规划可以把复杂的问题划分成很小的部分。

那么问题来了，这个问题的子问题是什么？

其实找到子问题是解题思路里面最重要的部分。

我们之前碰到的一个问题是，求一维数组里面的最大和。感觉这里可以用，又不知道怎么用。

我们上面说到了，确定一个子矩阵得至少4个元素，那假设我们已经知道了其中的两个：
假设最优解在第j行和第i行之间，剩下的就是去确定两个列了。

• 既然我们已经把解的范围局限在i，j两行之间了，我们真的需要去求具体的哪一列吗？

• 先这样看，如果i，j相等的话，也就是解在同一列。这样的话，问题是不是就转换为求一维数组的最大和了呢？

• 扩展到一般情况：i，j不想等：比如两行为：
  1 2 -3 -4
  -5 7 2 3
  那么我们如何求呢？
  降维！
  我们把每一列压缩为一个数，然后求一维的最大和就ok了。

整理一下思路：

1，我们遍历所有的 行 的组合情况，即第i行到第j行的所有情况。
2，然后对每个组合之间的两行之间的元素求这一列的值
3，对一个一维的和数组求最大和
4，对上述的最大和求最大值

在具体实现的时候，我们定住第i行不动，移动第j行，然后不断的求两行之间的每一列的和（压缩）。
然后在每次移动i的时候，我们清空储存列的和的数组。

程序：

//我们有第i行到第j行，然后求出每一列的从i到j的和，转化为一维数组，然后求这个数组的最大和
#include <iostream>
#include <cstring>
int maxSubArray(int* a,int n)//一维数组的最大和
{
    if(!a||n<=0)
        return 0;
    int curmax=0,max=0;
    max=curmax=a[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(curmax>=0)
        {
            curmax+=a[i];
        }
        else 
            curmax=a[i];
        if(curmax>max)
            max=curmax;
    }
    return max;
 } 

 int maxSumInMatrix(int a[200][200],int n)
 {
     int i=0,j=0,k=0;
     int sumij[200]={0};//从i到j的每一列的和

     int max_n=a[0][0],max=a[0][0];

     for(i=0;i<n;i++)
     {
         memset(sumij,0,sizeof(sumij));//clear，每次移动i的时候清除
         for(j=i;j<n;j++)
         {

             for(k=0;k<n;k++)
             {
                 sumij[k]+=a[j][k];
             }
             max_n=maxSubArray(sumij,n);
             if(max_n>max)//检查并更新最大值
             max=max_n;
         }         
     }
     return max;
}

 int main()
 {
     int a[200][200];
     memset(a,0,sizeof(a));
     int n;
     std::cin>>n;
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
         for(int j=0;j<n;j++)
         std::cin>>a[i][j];
     }
     std::cout<<maxSumInMatrix(a,n);
 }

本文作者 凌风 csdn（iaccepted）

作者博客：http://blog.csdn.Net/iaccepted，欢迎交流

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