生日礼物

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给出长度为n的序列({a_i}),请从中选出不超过m段，最大化每段的和的和，其中(1≤n,m≤10^5,|a_i|≤10^4)。

解

法一:递推

这是一道区间划分的问题，容易想到设一个方程(f[i][j])表示前i数字，选出j段的最大的每段的和的和，容易有

(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a_i))

但是无法优化，于是萎了，参考代码就不给出了。

法二:贪心

首先可以简化问题，也就是把同符号的相邻的一段合并成一个数字，不妨记进行这个操作以后的序列为({b_i}),长度为l，注意到它的一个性质，正负是交错的。

此时如果正数少于m，这道题目就做完了，接下来对大于m来考虑

然后根据最优性贪心，我们的选择一个极值来考虑问题，这个极值也就是绝对值的最小值，不妨设选出来的数为(b_i)，我们可以得到以下结论

• 该数字在边界，也就是(i=1 or i=l)

1. (a_i<0),此时显然不会有人没事去选一个负数，于是可以将它从序列中删去，删去这个操作可以利用链表来实现

2. (a_i>0)，此时该数为正数中最小的数字，因为其绝对值最小，不可能单独选它，因为换成别的数字，会使结果更加优秀，如果需要将其与其他的正数合并成一段的话，又必须要选中间的负数，然而显然这个负数加上(a_i)绝对是小于0，于是答案中不这样操作，会让结果更加优秀。

于是我们可以得到结论,如果(a_i)在边界，我们应该删去它。

• 该数字在中间

1. (a_i<0) 此时容易知道，它的绝对值必然是最小的，显然不会单独去选它，而是通过它合并相邻的两个正数，如果单独选两边的正数，显然可以选择的段数会减2，而选了两边的正数再加上这一个负数，可以选择的段数会减1,而此时再随便选择一段序列中的一个正数，必然与这个负数的和都是大于等于0的，因此容易知道后者的决策绝对不会比前者差劲。

2. (a_i>0),此时容易知道它是最小的正数，单独选择它，换成别的正数结果会更加优秀，你也不会没事单独选择两边的负数，于是只能将两边的负数与之合并。

因此根据以上，我们可以得到，如果是一个绝对值最小的在中间的数字，我们就将两边的数字与之合并，然后正数的段数显然减少了1,而如果在边界，直接删去，如果删去的是正数，那么正数的段数减少了１，最终合并到正数的段数少于m，此时就可以直接选择，寻找绝对值最小利用优先队列，合并和删去利用链表，顺便优先队列中记录这个元素在链表中对应的位置，这和原问题是等价的，是一个特别难的合并性贪心，最终时间复杂度(O(nlog(n)))。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define Size 101000
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
template<class free>
struct heap{
	free a[Size];int n;
	il void push(free x){
		a[++n]=x;ri int p(n);
		while(p>1)
			if(a[p]<a[p>>1])
				swap(a[p],a[p>>1]),
					p>>=1;
			else break;
	}
	il void pop(){
		a[1]=a[n--];ri int p(1),s(2);
		while(s<=n){
			if(s<n&&a[s+1]<a[s])++s;
			if(a[s]<a[p])
				swap(a[s],a[p]),
					p=s,s<<=1;
			else break;
		}
	}
};
template<class free>
struct list{
	struct iter{
		iter*pre,*next;free v;
	}*head,*tail,*lt;
	il void initialize(){
		head=new iter(),tail=new iter();
		head->next=tail,tail->pre=head;
	}
	il void insert(iter *p,free v){
		lt=new iter{p->pre,p,v};
		p->pre->next=lt,p->pre=lt;
	}
	il void erase(iter *p){
		p->next->pre=p->pre;
		p->pre->next=p->next;
		p->v=intmax;
	}
};
struct hl{
	int d;list<int>::iter *p;
	il bool operator<(const hl&x)const{
		return abs(d)<abs(x.d);
	}
};
heap<hl>H;
list<int>L;
list<int>::iter *p;
int a[Size];
il void read(int&);
int main(){L.initialize();
	int n,m,cnt(0),ans(0);read(n),read(m);
	L.insert(L.tail,0),p=L.tail->pre;
	for(int i(1),a;i<=n;++i){
		read(a);if((ll)p->v*a>=0)p->v+=a;
		else{
			if(p->v>0)++cnt;
			L.insert(p->next,a);
			H.push({p->v,p});
			p=p->next;
		}
	}if(p->v>0)++cnt;H.push({p->v,p});
	while(cnt>m){
		while(p=H.a[1].p,p->v==intmax)H.pop();
		if(p->pre==L.head||p->next==L.tail){
			if(H.a[1].d>0)--cnt;
			H.pop(),L.erase(p);continue;
		}--cnt;
		p->v+=p->pre->v+p->next->v;
		L.erase(p->pre),L.erase(p->next);
		H.pop(),H.push({p->v,p});
	}for(int i(1);i<=H.n;++i)
		if(H.a[i].p->v!=intmax&&H.a[i].d>0)
			ans+=H.a[i].d;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}
il void read(int &x){
	x^=x;ri char c;while(c=getchar(),c==' '||c=='
'||c=='
');
	ri bool check(false);if(c=='-')check|=true,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	if(check)x=-x;
}