初等数论

目录

• 同余
  • 同余的基本运算
    • 交换
    • 加减
    • 乘
    • 次方
  • 余数的定义
    • 证明式
    • 计算式
  • 同余类
  • 剩余系
    • 完全剩余系
    • 简化剩余系
  • 欧拉定理
    • 欧拉定理
    • 费马小定理
    • 欧拉定理的推论
      • 欧拉定理的推论
      • 扩展欧拉定理的推论
  • 思维导图

同余

同余的基本运算

交换

[aequiv b(mod m)Longleftrightarrow bequiv a(mod m) ]

加减

[a_1equiv b_1(mod m),a_2equiv b_2(mod m)Longleftrightarrow a_1+a_2equiv b_1+b_2(mod m) ]

特别地(aequiv b(mod m)Longleftrightarrow a+cequiv b+c(mod m))

乘

[a_1equiv b_1(mod m),a_2equiv b_2(mod m)Longleftrightarrow a_1a_2equiv b_1b_2(mod m) ]

[acequiv bc(mod mc)Longleftrightarrow aequiv b(mod m)Longleftrightarrow acequiv bc(mod m) ]

次方

[aequiv b(mod m)Longleftrightarrow a^cequiv b^c(mod m) ]

余数的定义

证明式

(aequiv b(mod c)Longleftrightarrow b=kc+a)

计算式

(amod b=a-[a/b] imes b)

同余类

当且仅当(ain[0,m))，集合({a+km})成为同余类，记做(ar{a})，同余类所有数(mod m)相等。

剩余系

完全剩余系

[{ar{0},ar{1},...,ar{m-1}} ]

简化剩余系

[{ar{c_1},ar{c_2},...,ar{c_{varphi(m)}}} ]

其中所有元素在(mod m)意义下与m互质

性质：剩余系中元素的乘法封闭

证明：

设a，b为剩余系中的元素，设(abequiv r(mod m))，有(ab=km+r)

反证法，假设不封闭，那么r必然与m有公约数，设(d=gcd(r,m)),右式看作一个整体存在约数d，而左式与m互质，不存在约数d，两数相等，矛盾，故得证。

欧拉定理

欧拉定理

a，m互质，有(a^{varphi(m)}equiv 1(mod m))

证明：

对于m的简化剩余系({ar{c_1},ar{c_2},...,ar{c_{varphi(m)}}})

同乘一个a，有

({aar{c_1},aar{c_2},...,aar{c_{varphi(m)}}})

对于其中任意两个剩余系(mod m)意义下(i,j)，假设(aiequiv aj(mod m)Rightarrow),

(a(i-j)equiv 0(mod m)Rightarrow m|a(i-j)xrightarrow{gcd(a,m)==1}m|(i-j)Rightarrow i-jequiv 0(mod m))

即(iequiv j(mod m))，故矛盾，不成立，于是第二个剩余系中元素互不相同，但是根据简化剩余系的性质，容易知道两个剩余系在(mod m)意义下相等，于是有

[c_1c_2...c_{varphi(m)}equiv c_1c_2...c_{varphi(m)}a^{varphi(m)}(mod varphi(m)) ]

于是有(a^{varphi(m)}=1(mod m))

费马小定理

当(min prime),易知(a^{m-1}equiv 1(mod m)),或者(a^mequiv a(mod m))

欧拉定理的推论

欧拉定理的推论

注意到欧拉定理类似循环节，当a，m互质时,故有(a^cequiv a^{c mod varphi(m)}(mod m))

扩展欧拉定理的推论

当a，m不互质时有

[a^cequiv egin{cases}a^c(c<varphi(m))\a^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(cgeq varphi(m))end{cases}(mod m) ]

证明：

对于m中的一个质因数p而言，显然有(m=p^k imes s)，于是有(s|m,p|m,gcd(p,s)==1)

所以有(p^{varphi(s)}equiv 1(mod s),varphi(s)|varphi(m))，所以有

(p^{varphi(m)}equiv 1(mod s)Rightarrow p^{varphi(m)+r}equiv p^r(mod s imes p^r=m))

r必然小于(varphi(m))

---

证明：

对于任意一个质数而言，其r=1，m最小都为2,于是成立

对于(varphi(m)=m imes frac{p-1}{p} imes ....)，假设对于m成立

如果增加一个质因子p，++r，而m扩大p倍，显然p至少都为2,于是(varphi(m))增长速度远大于r

如果增加质因子不是p，m扩大，r不变，还是成立

于是由数学归纳法容易知道，r必然小于(varphi(m))

---

因此对于(cgeq r)，有(p^{varphi(m)+r} imes p^{c-r}equiv p^r imes p^{c-r}(mod m))

有(p^{varphi(m)+c}equiv p^{c}(mod m)),于是对于任意一个c而言，只要(cgeq r)就存在循环节(varphi(m))，

于是有(p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m))，因此有

于是对于a的一个质因数p，也是m的质因子而言，有(p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m))

对于与m互质的a的质因子p而言有$p^cequiv p^{{c mod varphi(m)}(mod m)xrightarrow{p}{varphi(m)}equiv 1(mod m)} $$p^cequiv p^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m)$

将所有a对应的质因子的这些式子乘起来，我们有(a^cequiv a^{c mod varphi(m)+varphi(m)}(mod m))，于是得证。

思维导图

同余（同余的性质，完全剩余系）(Rightarrow)约数(Rightarrow)质因子

(Downarrow xrightarrow{ ext{互质}} ext{欧拉定理}egin{cases} ext{欧拉定理}\ ext{费马小定理}\ ext{欧拉定理的推论及其扩展}end{cases})

余数的定义(egin{cases} ext{证明式}\ ext{计算式}end{cases})，同余递推