陨石的秘密

陨石的秘密

分别给出(l_1,l_2,l_3)个({},[],())，优先级从低到高，组成一个合法的括号序列，并保证一个括号里的括号优先级要大于等于它，定义深度为括号里套括号的层数，问深度恰好为d的方案数(mod 11380)，(0 <= L1 <= 10,0 <= L2 <= 10,0 <= L3 <= 10,0 <= D <= 30)。

解

不能单独去考虑一个括号，递推状态无法表现，于是考虑划分一个序列成为几个合法序列的方案数，但是注意到可能会有重复，于是用一个括号强制包一个序列即可，现在问题在于枚举深度太麻烦了，于是考虑差分设状态，因此可以设出(f[i][j][k][l])表示深度小于等于i，有j个({})k个([])l个(())的方案数，因此不难有

[f[i][j][k][l]=egin{cases}1& if(j==k==l==0)\sum_{p=1}^jsum_{q=0}^ksum_{r=0}^lf[i-1][p-1][q][r] imes f[i][j-p][k-q][l-r]+&else\ sum_{p=1}^ksum_{q=0}^lf[i-1][0][p-1][q] imes f[i][j][k-q][l-q]+sum_{p=1}^l\f[i-1][0][0][p-1] imes f[i][j][k][l-p]end{cases}]

边界:(f[i][0][0][0]=1,i=0,1,2,..,d)

答案：(f[d][l1][l2][l3]-f[d-1][l1][l2][l3])

参考代码：

阶段实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define lzq 11380
using namespace std;
int dp[11][11][11][31];
int main(){
    int l1,l2,l3,d;
    scanf("%d%d%d%d",&l1,&l2,&l3,&d);
    for(int i(0);i<=d;++i)dp[0][0][0][i]=1;
    for(int i(1),j,k,l,p,q,r;i<=d;++i)
        for(j=0;j<=l1;++j)
            for(k=0;k<=l2;++k)
                for(l=0;l<=l3;++l){
                    for(p=1;p<=j;++p)
                        for(q=0;q<=k;++q)
                            for(r=0;r<=l;++r)
                                dp[j][k][l][i]+=dp[p-1][q][r][i-1]*
                                    dp[j-p][k-q][l-r][i]%lzq;
                    for(p=1;p<=k;++p)
                        for(q=0;q<=l;++q)
                            dp[j][k][l][i]+=dp[0][p-1][q][i-1]*
                                dp[j][k-p][l-q][i]%lzq;
                    for(p=1;p<=l;++p)
                        dp[j][k][l][i]+=dp[0][0][p-1][i-1]*
                            dp[j][k][l-p][i];
                    dp[j][k][l][i]%=lzq;
                }
    int ans(dp[l1][l2][l3][d]);
    if(d)ans-=dp[l1][l2][l3][d-1];
    (ans+=lzq)%=lzq;printf("%d",ans);
    return 0;
}

dfs实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define lzq 11380
using namespace std;
bool is[31][11][11][11];
int dp[31][11][11][11];
int dfs(int,int,int,int);
il int mod(int);
int main(){
    int l1,l2,l3,D;
    scanf("%d%d%d%d",&l1,&l2,&l3,&D);
    for(int i(0);i<=D;++i)dp[i][0][0][0]|=true;
    printf("%d",mod(dfs(D,l1,l2,l3)-dfs(D-1,l1,l2,l3)));
    return 0;
}
il int mod(int x){
    return ((x%=lzq)+=lzq)%=lzq;
}
int dfs(int a,int b,int c,int d){
    if(a<0||b<0||c<0||d<0)return 0;
    if(is[a][b][c][d])return dp[a][b][c][d];
    int &x(dp[a][b][c][d]),i,j,k;
    for(i=1;i<=b;++i)
        for(j=0;j<=c;++j)
            for(k=0;k<=d;++k)
                x+=dfs(a-1,i-1,j,k)*dfs(a,b-i,c-j,d-k)%lzq;
    for(i=1;i<=c;++i)
        for(j=0;j<=d;++j)
            x+=dfs(a-1,0,i-1,j)*dfs(a,b,c-i,d-j)%lzq;
    for(i=1;i<=d;++i)
        x+=dfs(a-1,0,0,i-1)*dfs(a,b,c,d-i)%lzq;
    return is[a][b][c][d]|=true,x%=lzq;
}