要构成一个(n imes n)的阶梯形图形，如图，但你只能用n个长方形构成这个图形，询问其方案数，(1<=N<=500)。
解
其实注意到题目很简单，而且还是很奇怪的组合计数，在加上样例(1,2,5,14),你就能猜到这是一个catalan数列。
但还是按照正规的思路来，组合计数问题，显然无法推出通项公式，于是考虑递推方程，设(f[n])表示长度为n的阶梯形图形划分方案数，问题在于接下无法根据策略转移，考虑划分，尝试把它划分成两个完整的阶梯，于是我们完全可以利用一个端点在最左下角的，一个端点在阶梯上的点的正方形划分问题，于是有
(f[n]=f[1]f[n-1]+f[2]f[n-2]+...f[n-1][1])
边界:(f[1]=1)
于是很快反应过来，这就是catalan数的递推公式，于是不用递推方程，它只是负责证明，接下来套用其公式，利用高精阶乘分解质因数的方法即可。
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
struct lll{
short num[5000];
il lll(){num[0]=1;}
il void clear(){
memset(num,0,sizeof(num)),num[0]=1;
}
il void read(){
string s;cin>>s,num[0]=s.size();
for(ri int i(1);i<=num[0];++i)
num[i]=s[num[0]-i]-48;
}
il void print(){
for(ri int i(num[0]);i;--i)
putchar(num[i]+48);
}
il void operator=(int x){
num[0]&=0;
while(x)num[++num[0]]=x%10,x/=10;
}
il lll operator*(lll x){
lll y;y.clear();
for(ri int i(1),j,k;i<=num[0];++i){
k&=0;
for(j=1;j<=x.num[0];++j)
y.num[i+j-1]+=num[i]*x.num[j]+k,
k=y.num[i+j-1]/10,y.num[i+j-1]%=10;
y.num[i+x.num[0]]+=k;
}y.num[0]=num[0]+x.num[0];
while(!y.num[y.num[0]]&&y.num[0]>1)--y.num[0];
return y;
}template<class free>
il lll operator^(free y){
lll x(*this),ans;ans=1;
while(y){
if(y&1)ans=ans*x;
x=x*x,y>>=1;
}return ans;
}
}xdk[201];
bool check[1001];
int prime[201],pt;
il void cat(int),sieve(int);
int main(){
int n;scanf("%d",&n);
sieve(n<<1),cat(n);
return 0;
}
il void sieve(int n){
check[1]|=true;
for(ri int i(2),j;i<=n;++i){
if(!check[i])prime[++pt]=i,xdk[pt]=i;
for(j=1;j<=pt&&i*prime[j]<=n;++j){
check[i*prime[j]]|=true;
if(!(i%prime[j]))break;
}
}
}
il void cat(int n){
lll ans;ans=1;
int n2(n<<1),i,j,wch(n+1),tr;
for(i=1;i<=pt;++i){
tr&=0;
for(j=n2;j;j/=prime[i])tr+=j/prime[i];
for(j=n;j;j/=prime[i])tr-=j/prime[i]<<1;
while(!(wch%prime[i]))wch/=prime[i],--tr;
ans=ans*(xdk[i]^tr);
}ans.print();
}