Matrix Power Series（POJ 3233 构造新矩阵求解+ 快速矩阵幂）

题目大意：给定A，k,m（取模），求解S = A + A² + A³ + … + A^k.

思路：此题为求解幂的和，一开始直接一个个乘，TLE。时间消耗在累加上。此处巧妙构造新矩阵

p=    A 0

 　　 1 1 　　，1 代表单位矩阵。那么p*p=A 0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A+1,1

p*p*p=A*A 0

　　　　A*A+A+1 1

那么最后求得的结果就是左下角的矩阵减去一个单位矩阵。最后需要注意的是若在简单为矩阵的时候结果为负数，那么为m-1;

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;

mat a,b;
int n,k,m;
mat mul(mat x,mat y)
{
    mat c(2*n,vec(2*n));
    int sum;
    int i,j,w;
    for(i=0;i<2*n;i++)
        for(j=0;j<2*n;j++)
        {
            sum=0;
            for(w=0;w<2*n;w++)
                sum=(sum+x[i][w]*y[w][j])%m;
            c[i][j]=sum;
        }
    return c;
}

mat m_pow(mat x,int p)
{
    mat res(2*n,vec(2*n));
    int i;
    for(i=0;i<2*n;i++)
        res[i][i]=1;
    while(p>0)
    {
        if(p&1)
            res=mul(res,x);
        x=mul(x,x);
        p>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int i,j,x;
    freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>n>>k>>m;
    mat a(2*n,vec(2*n));
    
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
            cin>>a[i][j];
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=n;j<2*n;j++)
            a[i][j]=0;
    for(i=n;i<2*n;i++)
        a[i][i-n]=a[i][i]=1;

    a=m_pow(a,k+1);
    
    for(i=n;i<2*n;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if((i-j)==n)
                a[i][j]--;
            if(a[i][j]<0)
                a[i][j]+=m;
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}