[数学]对数均值不等式

I think, therefore I am.

——Descartes

对数均值不等式

[sqrt{x_1x_2}leqfrac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}leqfrac{x_1+x_2}{2} ({x_1},{x_2}inR^+ and {x_1} eq{x_2}) ]

1. Proof Method(证明方法)

对于 ((ln{x_1}-ln{x_2})) 式子常做齐次化处理，换元构造一元新函数在进行研究一般可以得到比较好的效果。

我们以左边的不等号证明作为例子：

[不妨设 0<x_1<x_2\ sqrt{x_1x_2}leqfrac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}\ Leftrightarrowln{frac{x_2}{x_1}leqsqrt{frac{x_2}{x_1}}-sqrt{frac{x_1}{x_2}}}\ 于是我们令 t =sqrtfrac{x_2}{x_1}>1，则有：\ 不等式Leftrightarrow2ln{t}-t+frac{1}{t}leq0 (t>1)\ 令f(x)=2ln x-x+frac 1{x}，f^{'}(x)=frac 2 x-1-frac 1 {x^2}=-{(frac 1 x-1)^2}leq0\ herefore f(x)在(1,+infty)单调递减Rightarrow f(x)<f(1)=0Rightarrow 原不等式成立 ]

2. Geometric Meaning(几何意义)

在 $y=ln x$ 任取两点 $A，B$ ，如上图所示。以右边 $frac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}leqfrac{x_1+x_2}{2}$ 为例进行说明： $$ Leftrightarrowfrac 2 {x_1+x_2}leqfrac{ln{x_1}-ln{x_2}}{x_1-x_2} $$ 为方便起见，记 $A，B$ 在 $y=ln x$ 的中点为 $D$ ，并过 $D$ 做函数 $y=ln x$ 的切线 $l$ ，则 $frac{ln{x_1}-ln{x_2}}{x_1-x_2}$ 即为 $AB$ 直线的斜率 $k_1$ ，而 $frac{2}{x_1+x_2}$ 即为 $l$ 的斜率 $k_2$ 。那么，由上面的结论立马可以得到： $$ frac 2 {x_1+x_2}leqfrac{ln{x_1}-ln{x_2}}{x_1-x_2}Rightarrow k_1geq k_2 $$ 这个不等式实际上告诉我们：在 $y=ln x$ 的图像上任意两点的斜率大于其中点在 $y=ln x$ 的切线的斜率。(此处的中点意为函数图像上的中点)

注：这也是为什么特地将不等号写为 ("leq") 的原因之一，当 (B) 无限接近 (A) ，斜率变成了切线的斜率^[1]，与 (l) 的斜率相等。

实际上，在 (k_1) 与 (k_2) 作比较时应当想到拉格朗日中值定理，此定理表述为：

[对于f(x)，如果满足：\ (1)f(x)在区间(a,b)上可导；\ (2)f(x)在区间[a,b]上连续.\ 则：必定exist xi in (a,b)，使得f^{'}(xi)=frac{f(a)-f(b)}{a-b}. ]

该定理的几何直观性非常强，即 (exist xi) 一点 (in(a,b)) ，且改点的斜率与 (k_{AB}) 相同(或者说是与 (AB) 平行)，但是该定理不需要深入证明，并且高中数学答卷中不可使用，但对于某些问题的本质研究有一定辅助的作用。

其实有不少题目都是以此作为背景，此类题目一般表述为： (是否exist x_1 ,x_2 使得frac{f(x_1)-f({x_2})}{x_1-x_2}=f^{'}(frac{x_1+x_2}{2})成立) 或者更特殊的 (x_1<x_2且两者均为f(x)的零点，判断f^{'}(frac{x_1+x_2}{2})(or f^{'}(sqrt{x_1x_2}))的正负性) ^[2]而对于函数 (y=ln x) 则表明 (xi<frac{x_1+x_2}{2}) 。此类题目其实和本结论关系较小(但其实大部分最后的证明也是基于本结论)，一般利用类似前面的证明方法证明即可，在此仅作说明。

3. Application in High School Math(在高中数学中的应用)

①韦达定理

如果仔细观察的话会发现，许多导数题涉及双变量及一元二次方程(导数零点常是)，而本结论的形式 ((x_1+x_2)) 与 (sqrt{x_1x_2}) 就不得不想到韦达定理。在此类题目中，往往一次项系数或者常数项为常数，进而便于不等式放缩。

以 2018 年全国卷 I 为例：

[已知函数f(x)=frac 1{x}-x+aln x (a>2)quadexist两个极值点x_1和x_2且0<x_1<x_2，求证：\ frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2. ]

证明：

[f^{'}(x)=-frac 1{x^2}-1+frac{a}{x}=-frac{1}{x^2}(x^2-ax+1),quad herefore x_1x_2=1\ LHS=frac{frac{1}{x_1}-x_1+aln {x_1}-frac 1{x_2}-x_2+aln {x_2}}{x_1-x_2}\ =frac{-2(x_1-x_2)+a(ln{x_1}-ln{x_2})}{x_1-x_2}\ =-2+afrac{ln{x_1}-ln{x_2}}{x_1-x_2}quadquadquadquad \ <-2+afrac{1}{sqrt{x_1x_2}}=a-2.quadquad证毕 ]

②某一类极值点偏移

极值点偏移是一类“入门题”，较难的极值点偏移一般通过复杂的参数设置，分段设置函数实现，但大同小异。对于 (f(x)) 中有参数，但是证明的式子中却没有参数的题目，一般暗示参数并没有什么真正价值，理应消去。简单形式的双变量用合分比性质即可简单解决，在此仅为强调该不等式的强大及辅助理解此不等式。

例：

[对于函数f(x)=e^x-mx有两个零点quad x_1,x_2 且<0x_1<x_2.求证：\ x_1cdot x_2<1. ]

证明：

[m=frac{e^x}{x}quad(消参)\ frac{e^{x_1}}{x_1}=frac{e^{x_2}}{x_2}Rightarrow x_1-ln {x_1}=x_2-ln{x_2}\ Rightarrowfrac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}=1.\ herefore x_1cdot x_2={sqrt{x_1x_2}}^2<{(frac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}})}^2=1.quad证毕 ]

注：常常由简单函数添加不容易“分离”的参数使题目难度增加，例如这个函数 (y=e^x-x) 实际上还可以这样处理：

[令 e^x-x=aRightarrow x=ln{(x+a)}\ 构造函数f(x)=x-ln{(x+a)} ]

这样处理后的函数相对较为高级。

③多项式化处理(较为灵活)

众所周知涉及双变量不等式的题目要消元，构造单变量函数求导(不停地求导)即可做出。但实际上这样比较繁琐，这个不等式还有另一个很强的作用就是把超越式 (ln x) 消去，转化为多项式(多项式可以因式分解)。

注：这样处理还有一个很重要的原因在于此不等式较强(一般放缩不会过度)，且等号成立条件一般和题目相同(如不同，则慎用)。

例：

• (泉州市一模)
  [已知函数f(x)=frac 1 {2}x^2+bx+aln xquad(a+b=-1 且a>1(即1为极大值点))\ 若exist x_0使得f(x_0)=f(1)quad(x_0 eq1),求证：a<x_0<a^2. ]
  证明：
  [f^{'}(x)=x-(a+1)+frac a x\ =frac{1}{x}(x^2-(a+1)x+a)\ =frac 1 x (x-a)(x-1)quadquad\ herefore f(x)在(0,1),(a,+infty)单调递增，在(1,a)单调递减Rightarrow x_0>a\ 再来说明右边：x_0<a^2Leftrightarrow f(x_0)<f(a^2)\ 化单变量为双变量寻求对称：x_2=a^2,x_1=1\ 求差：f(x_2)-f(x_0)=f(x_2)-f(x_1)\ =frac 1 2 (x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)+a(ln{x_2}-ln{x_1})\ =(x_2-x_1)[frac{x_1+x_2}{2}+b+afrac{ln{x_2}-ln{x_1}}{x_2-x_1}]\ ]
  上式=(x_2-x_1)(m-(a+1)+frac a m)=frac{x_2-x_1}{m}(m-a)(m-1)>0.quad证毕
  [ ]
  已知函数f(x)=e^{2x}+(a-ax)ex,x_1和x_2为f(x)的两个极值点且0<x_1<x_2若：x_1x_2+m(x_1+x_2)<0恒成立，求m的取值范围.
  [ 证明： ]
  注意到：f(x)=e^x(2ex-ax)Rightarrowfrac{e^{{x_1}}{x_1}=frac{e}{x_2}}{x_2}
  Rightarrowfrac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}=1.
  原不等式Leftrightarrow-m>frac{x_1x_2}{x_1+x_2}quad(不齐次)
  ecause x_1+x_2geq2sqrt{x_1x_2}quad(其实用x_1x_2leqfrac{(x_1+x_2)^2}{4}也可以，读者可自行尝试)
  frac{x_1x_2}{x_1+x_2}leqfrac{sqrt{x_1x_2}}{2}<frac 1 2 frac{x_1-x_2}{ln{x_1}-ln{x_2}}=frac 1 2.
  herefore mleq -frac 1 2.
  [ ]

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1. 其实这也是切线的定义，再者，事实上： (lim_{x_2 o x_1}frac{x_1-x_2}{ln {x_1}-ln{x_2}}=frac{1}{(ln{x_1})^{'}}=x_1=lim_{x_2 o x_1}frac{x_1+x_2}{2}) ↩︎

2. 实际上这就是以罗尔中值定理为背景，有兴趣可以了解。 ↩︎