原码，反码，补码、移码

参考文章

参考文章1

https://blog.csdn.net/zl10086111/article/details/80907428

作者：张子秋
出处：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/ 
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参考文章2

https://blog.csdn.net/afsvsv/article/details/94553228

参考文章3

https://www.cnblogs.com/Jamesjiang/p/8947252.html

一、预备知识

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解一些概念.

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

3、原理

我们学习之前还得认识二进制，十六进制。会二进制与十进制的相互转化运算。

进制转换可以参考我的博客：https://www.cnblogs.com/Zzbj/p/10905744.html

由计算机的硬件决定，任何存储于计算机中的数据，其本质都是以二进制码存储。

根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器，控制器，存储器，输入和输出设备组成。其中运算器，只有加法运算器，没有减法运算器。

所以，计算机中的没法直接做减法的，它的减法是通过加法来实现的。你也许会说，现实世界中所有的减法也可以当成加法的，减去一个数，可以看作加上这个数的相反数。当然没错，但是前提是要先有负数的概念。这就为什么不得不引入一个该死的符号位。

1. 而且从硬件的角度上看，只有正数加负数才算减法。

2. 正数与正数相加，负数与负数相加，其实都可以通过加法器直接相加。

原码，反码，补码的产生过程，就是为了解决，计算机做减法和引入符号位（正号和负号）的问题。

二、原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法

对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1、原码

原码：是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，‘1’表示负号，‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

例如：

带符号的8位二进制:

[+1]_原 = 0000 0001 = +1

[-1]_原 = 1000 0001 = -1

若以带符号位的四位二进值数为例 

1. 1010 ： 最高位为‘1’,表示这是一个负数，其他三位为‘010’，

2. 即（0*2^2）+（1*2^1）+（0*2^0）=2（‘^’表示幂运算符）

3. 所以1010表示十进制数（-2）。

下图给出部份正负数数的二进制原码表示法

首先大概了解一下二级制加法运算

二进制运算规则：逢2进1
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 
也就是当两个数相加的二进制位仅一位为1时，相加的结果为1；
如果两个二进制位全是0，相加的结果仍为0；
而如果两个相加的二进制位均为1，则结果为10（相当于十进制中的2）


例如：
# 这里暂时不考虑符号
1010 + 0110 = 10 + 6 = 16

   1010
+  0110
----------
  10000

逢2进1(从右到左)：
0+0=0
1+1=10  # 进位1，剩余0
0+1+1(这个1是进位) = 10  # 进位1，剩余0
1+0+1(这个1是进位) = 10  # 进位1，剩余0
1  # 最后进位得到的1


再比如
111 + 111 = 7 + 7 = 14

   111
+  111
----------
  1110

逢2进1(从右到左)：
1+1=10  # 进位1，剩余0
1+1+1(这个1是进位)=10+1=11  # 进位1，剩余1，这种情况的运算规则是：先算原本的1+1=10，再算10+1(进位)=11
1+1+1(这个1是进位)=10+1=11  # 进位1，剩余1
1  # 最后进位得到的1

OK，原码表示法很简单有没有，虽然出现了+0和-0，但是直观易懂。
于是，我们高兴的开始运算。

0001+0010=0011 （1+2=3）OK

0000+1000=1000 （+0+（-0）=-0） 额，问题不大

0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）

噢，1+（-1）=-2，这仿佛是在逗我呢。

于是我们可以看到其实正数之间的加法通常是不会出错的，因为它就是一个很简单的二进制加法。

而正数与负数相加，或负数与负数相加，就要引起莫名其妙的结果，这都是该死的符号位引起的。0分为+0和-0也是因他而起。

所以原码，虽然直观易懂，易于正值转换。但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂。于是反码来了。

2、反码

我们知道，原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。

例如：

0000 0001 + 1000 0001 = 1000 0010 (1+(-1)=-2)

0000 0010 + 1000 0010 = 1000 0100 (2+(-2)=-4)

于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那我们干脆用一个正数按位取反来表示负数试试。

反码：

正数的反码还是等于原码

负数的反码就是他的原码除符号位外，按位取反。

例如：

带符号的8位二进制:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

那么我们再试着用反码的方式解决一下原码的问题

把原码都转成反码进行计算，得到反码，把结果得到的反码再换算回原码即可

反码转换回原码：
正数：反码就是原码
负数：符号位不变，其他位按位取反

# 正数和负数相加
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
互为相反数相加等于0，解决，虽然是得到的结果是-0

1 - 2 = 1 + (-2) = [0000 0001]原 + [1000 0010]原 = [0000 0001]反 + [1111 1101]反 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原 = -1
结果也是正确的

# 再试着做一下两个负数相加
(-1) + (-2) = [1000 0001]原 + [1000 0010]原 = [1111 1110]反 + [1111 1101]反 = [1 1111 1011]反 = [1 0000 0100]原 = -4

噢，好像又出现了新问题
（-1）+（-2）=（-4）?

看来相反数问题是解决了，但是却让两个负数相加的出错了。

但是实际两个正数相加和两个负数相加，其实都是一个加法问题，只是有无符号位罢了。而正数+负数才是真正的减法问题.
也就是说只要正数+负数不会出错，那么就没问题了。负数加负数出错没关系的，负数的本质就是正数加上一个符号位而已。

在原码表示法中两个负数相加，其实在不溢出的情况下结果就只有符号位出错而已（1001+1010=0011)

实际反码表示法其实已经解决了减法的问题，他不仅不会像原码那样出现两个相反数相加不为零的情况，而且对于任意的一个正数加负数的计算结果是正确的。
所以反码与原码比较，最大的优点，就在于解决了减法的问题。

但我们还有一个负数相加的问题，此时就需要用补码了。

3、补码

补码：

1. 正数的补码等于他的原码
2. 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补

补码运算规则是：

• X+Y = [X]补 + [Y]补 = [X+Y]补 = 再转换为原码即可
• X-Y = [X]补 + [-Y]补 = [X-Y]补 = 再转换为原码即可
• -X-Y = [-X]补 + [-Y]补 = [-X-Y]补 = 再转换为原码即可

例如：

正数和负数相加：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [1 0000 0000]补 = [0 0000 0000]原 = 0

两个负数相加：
(-1) + (-2) = [1000 0001]原 + [1000 0010]原 = [1111 1111]补 + [1111 1110]补 = [1 1111 1101]补 = [1 1111 1100]反 = [1 0000 0011]原 = -3

# 由此可见，补码即解决了符号问题，也解决了负数加负数的情况

4、移码

移码（又叫增码或偏置码）通常用于表示浮点数的阶码，其表示形式与补码相似，只是其符号位用“1”表示正数，用“0”表示负数，数值部分与补码相同。

即：不管正负数，只要将其补码的符号位取反即可。

例如：

X=-101011 , [X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]补=1101_0101，[X]移=0101_0101

 

三、溢出

1、溢出的常用处理方法

用变形补码进行双符号位运算（正数符为00,负数符号以11）

若运算结果的符号位为：

00 正数无溢出

01 正溢出（但是也是正数）

10 负溢出（但是也是负数）

11 负数无溢出

2、溢出解析

1.说到溢出，还是要先提一下自然丢弃。

请看下面这个例子：

　　-2 - 6

　　-2  -->   1110[补]

　　-6  -->   1010[补]

　　相加  --------

　　结果 (1)1000 

　　结果的位数比原先的多出了一位，此处最左边的1，是会被自然丢弃的(就是不要了)。再看结果，对1000[补]=0000[原](也就是0)。这和我们想要的-8有天壤之别。为什么会出现这个情况呢？

　　原因就是这里出现了溢出！

首先来看溢出的定义：

　　对一个N位二进制补码，其可以表达的范围是 - 2^N-1+1 ~ 2^N+1 - 1之间。如果超出这个范围就称为溢出了。

拿上面的-2-6来说，我们刚刚在计算时，转换为二进制补码是4位的。它的取值范围是-7~+7之间。而我们想要的结果是-8,比范围的最小值还要小，这个叫做负溢出。同理如果想要的结果比最大值还要大，那么就叫做正溢出，如取值范围是-7~+7之间，想要的结果是+8，那么就是正溢出。

说完了溢出的定义，我们来说说溢出的判定，就是怎么在计算开始时知道自己算的结果是不是溢出了？

采用双符号形式，我们再计算一次 -2-6

　　11 110[补]

　　11 010[补]

   (1)11 000[补]

得到结果是 11 000[补](最高位超出位宽，自然舍弃)，采用双符号运算得到的最后结果应该是单符号的，

就是：-2 = 11 110 前面双符号11代表负数， -6 = 11 010 前面双符号11代表负数，但是得到的结果11 000 只要前面1是符号位，代表负数，真值是1 000，

因此最后结果：11 000[补] = 11 000[原] = -8

再比如：

-5-3（按8位算），11 111 1011[补] + 11 111 1101[补] =  (1)11 111 1000[补]

双符号位的话，计算结果以符号位高位为结果符号，即 11，发生了负溢出。

11 111 1000[补] = 1 0000 1000[原] = -8

 

四、反码与补码的原理

计算机中的数值是以补码形式存储的（只不过正数的补码跟原码一样。

强调原码，反码，补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码，反码表示法中，我们把减法化为加法的思维是减去一个数，等于加上一个数的相反数，结果发现引入了符号位，却因为符号位造成了各种意向不到的问题。

反码+1 ，它只是补码的另外一种求法，不是补码的定义。

1、补码的原理

为了便于理解可以用时钟计算（12小时制的）
9要拨到5，可以减4，也可以加8 ，所以此时 -4和+8是等价的 。
那么 ，我们可以认为 8是4的补码
那么这两个数有什么联系呢？ 没错他们和在一起就绕了时钟一圈，用数学表达的话就是 两数的相加的绝对值 为 12
类比到补码：首先的明白一圈是多少 ？假设机器一圈为128(2的7次方)
于是用128减真值 也就是所谓的 数值位取反，末位加一 的操作了。
再回到时钟， 9-4=9+[4]补=(9+8)%12 因为他会多走一圈，所以我们再在这里还要 %12，而计算机补码是有周期的，不用这一步。

也就是，当前9点，我们希望拨到5点，做法如下

1. 往回拨4个小时: 9 - 4 = 5

2. 往前拨8个小时: (9 + 8) mod 12 = 5

3. 往前拨8+12=20个小时: (9+20) mod 12 =5

2,3方法中的mod是指取模操作, 17 mod 12 =5 即用17除以12后的余数是5.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

负数取模

-1 mod 4 = (-1 + 4*n) mod 4，n取正整数，一直到括号里的数不为负数。

例如:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_补 + [1111 1111]_补

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]_原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]