洛谷P4719 动态DP —— 动态DP(树剖+矩乘)

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719

感觉这篇博客写得挺好：https://blog.csdn.net/litble/article/details/81038415

为了动态维护DP值，首先要把它转化成一个容易维护的形式，这道题中DP状态的转移就可以转化成矩阵乘法；

于是要快速算出一个DP值，就可以矩阵连乘，用线段树维护(此时求DP值已经完全变成求区间矩阵乘积了)；

可以发现，如果修改一个点的值，影响到的只有它到根的一条链；

所以树剖+线段树维护矩阵，以重链为单位修改，复杂度据说是 2³nlog2n ；

注意这里的 ed[x] 不是树剖常用的那个 ed，而是重链底端的 dfn 值，并且只记在 top 上，这样就可以在线段树上从 top 提取出一条重链。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
using namespace std;
int const xn=1e5+5,inf=1e9;
int n,m,a[xn],hd[xn],ct,to[xn<<1],nxt[xn<<1],dfn[xn],tim,id[xn],top[xn];
int fa[xn],siz[xn],son[xn],f[xn][2],ed[xn];
struct N{
  int a[2][2];
  N(){a[0][0]=a[1][1]=0; a[0][1]=a[1][0]=-inf;}
  N operator * (const N &y) const
  {
    N ret;
    for(int i=0;i<2;i++)
      for(int k=0;k<2;k++)
    for(int j=0;j<2;j++)
      ret.a[i][j]=max(ret.a[i][j],a[i][k]+y.a[k][j]);
    return ret;
  }
}s[xn],t[xn<<2];
int rd()
{
  int ret=0,f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0; ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
void add(int x,int y){to[++ct]=y; nxt[ct]=hd[x]; hd[x]=ct;}
int maxx(int a,int b){return a>b?a:b;}
void dfs(int x,int ff)
{
  fa[x]=ff; siz[x]=1; f[x][1]=a[x];
  for(int i=hd[x],u;i;i=nxt[i])
    {
      if((u=to[i])==ff)continue;
      dfs(u,x); siz[x]+=siz[u];
      if(siz[u]>siz[son[x]])son[x]=u;
      f[x][1]+=f[u][0]; f[x][0]+=maxx(f[u][0],f[u][1]);
    }
}
void dfsx(int x)
{
  dfn[x]=++tim; id[tim]=x;
  if(son[x])top[son[x]]=top[x],dfsx(son[x]);
  for(int i=hd[x],u;i;i=nxt[i])
      if((u=to[i])!=fa[x]&&u!=son[x])top[u]=u,dfsx(u);
  if(!son[x])ed[top[x]]=dfn[x];//!!链底
  //ed[x]=tim;
}
void build(int x,int l,int r)
{
  if(l==r)
    {
      int nw=id[l],g0=0,g1=a[nw];
      for(int i=hd[nw],u;i;i=nxt[i])
    if((u=to[i])!=fa[nw]&&u!=son[nw])g0+=maxx(f[u][0],f[u][1]),g1+=f[u][0];
      t[x].a[0][0]=t[x].a[0][1]=g0; t[x].a[1][0]=g1;
      s[l]=t[x]; return;//s[l]!
    }
  build(ls,l,mid); build(rs,mid+1,r);
  t[x]=t[ls]*t[rs];
}
N query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
  if(l>=L&&r<=R)return t[x];
  if(mid>=R)return query(ls,l,mid,L,R);
  if(mid<L)return query(rs,mid+1,r,L,R);
  return query(ls,l,mid,L,R)*query(rs,mid+1,r,L,R);
}
N get(int x){return query(1,1,n,dfn[x],ed[x]);}
void chg(int x,int l,int r,int pos)
{
  if(l==r){t[x]=s[l]; return;}//!s[x]!
  if(pos<=mid)chg(ls,l,mid,pos);
  else chg(rs,mid+1,r,pos);
  t[x]=t[ls]*t[rs];
}
void work(int x,int ss)
{
  s[dfn[x]].a[1][0]+=ss-a[x]; a[x]=ss;//dfn[x]
  N nw,pr;
  while(1)
    {
      pr=get(top[x]); chg(1,1,n,dfn[x]); nw=get(top[x]);
      x=fa[top[x]]; if(!x)return;
      s[dfn[x]].a[0][0]+=maxx(nw.a[0][0],nw.a[1][0])-maxx(pr.a[0][0],pr.a[1][0]);
      s[dfn[x]].a[0][1]=s[dfn[x]].a[0][0];
      s[dfn[x]].a[1][0]+=nw.a[0][0]-pr.a[0][0];//dfn[x]
    }
}
int main()
{
  n=rd(); m=rd();
  for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=rd();
  for(int i=1,x,y;i<n;i++)x=rd(),y=rd(),add(x,y),add(y,x);
  dfs(1,0); top[1]=1; dfsx(1); build(1,1,n);
  for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
      x=rd(); y=rd(); work(x,y); N tmp=get(1); 
      printf("%d
",maxx(tmp.a[0][0],tmp.a[1][0]));
    }
  return 0;
}