正则语言的泵引理

    我们知道，正则表达式（和有穷自动机）的数目是可数的，而语言的数目是不可数的，因此存在非正则语言。如何判定一个语言不是正则语言，这需要从正则语言的“本质”特性去讨论。

    有穷自动机（DFA）是正则语言（RL）的识别模型。一个 DFA 只有有穷个状态，也就是说，当该DFA识别的语言 L 是无穷语言时，L 中必定存在一个足够长的句子，使得 DFA 在识别该句子的过程中，肯定要重复地经过某些状态。

    我们先不加证明的给出一个定理：设 L 是一个正则语言，则存在正整数 m ≥ 1 使得任一字符串 w ∈ L，只要 |w| ≥ m 就可以写成 w = xyz，其中 y ≠ e，|xy| ≤ m 且对每一个 i  ≥  0，xyⁱz ∈ L。

    由于 L 是正则的，它被一台确定型有穷自动机 M 接受，对于字符串 w = a₁a₂…a_m，识别字符串w的过程中经过的状态依次为 q₀，q₁，…，q_m，考虑 M 对  w 的前 m 步计算：（q₀，a₁a₂...a_m） ├M（q₁，a₂...a_m)├M...├M(q_m,e).其中 q₀ 是 M 的初始状态，a₁...a_m是 w 的前 m 个符号。因为 M 只有 m 个状态，而在上面的计算中有 m+1 个格局，所以根据鸽巢原理，这些状态中至少有一对是重复的，如 q_k 和 q_j （k ≠ j 且 0≤ k < j ≤ m）。即字符串 y = a_k+1...a_j把 M 从状态 q_k 带回状态 q_j，而且由于 k < j，y 不是空串。于是，可以从 w 中删去 y 或者接在 w 的第 j 个符号后面重复任意次 y，所得到的字符串仍被 M 接受。即，对于每一个 i ≥ 0，M接受 xyⁱz，其中x = a₁...a_k和z = a_j+1...a_n。最后，注意到 xy 的长度 j 根据定义不超过 m，符合要求。

    证明语言 L = {aⁱbⁱ：i ≥ 0}不是正则的。

反证法：如果 L 是正则的，则存在满足定理要求的整数 n。考虑字符串 w = aⁿbⁿ ∈ L。根据定理，将其重写成 w = xyz 使得 |xy| ≤ n 且 y ≠ e，即 y = aⁱ，其中 i >0。                                          

如果 y 仅含有 a 或仅含有 b，那么xy²z中 a，b 的个数明显不等，因此 xy²z 不属于 L。  

如果 y 同时含有 a 和 b，那么 y2中一定会出现 a 在 b 之后的情况，因此xy²z 不属于 L。