@[DP, KMP, 矩陣快速冪]
Description
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为(N)位数(X_1 X_2 .. X_n(0 <= X_i <= 9)),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学(A_1 A_2 .. A_m (0 <= A_i <= 9))有M位，不出现是指(X_1 X_2 .. X_n)中没有恰好一段等于(A_1 A_2 .. A_m). (A_1)和(X_1)可以为(0)
Input
第一行输入(N,M,K).接下来一行输入(M)位的数。 (N<=10^9,M<=20,K<=1000)
Output
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.
Sample Input
4 3 100
111
Sample Output
81
Solution
很容易想到DP方程
[f[i][j] = sum_{k = 0}^{m - 1}f[i - 1][k] * trans[k][j]
]
[ans = sum_{j = 0}^{m - 1}f[n][j]
]
其中, (f[i][j])表示考號第(i)位匹配到不吉利串第(j)位時的情況數; (trans[k][j])記錄上一位位匹配至不吉利串中的第(k)位時, 填入(num in [1, 10))使得當前位匹配至不吉利串第(j)位的(num)數(實際上這個數量只能是(1)或者(9))
然後就會發現, (i)最大可以達到(10^{9}), 因此時間複雜度必須要優化.
想到矩陣快速冪, 發現可以直接將(f)整個省略掉, 只要求出(trans^{n})即可
至於(trans)數組, 通過KMP算法與處理一下就好了
然後就可以直接看代碼了
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int M = 1 << 5;
int n, m, K;
char a[M];
int pre[M];
int trans[M][M];
int ans[M][M];
void mul(int a[M][M], int b[M][M], int res[M][M])
{
int tmp[M][M];
for(int i = 0; i < m; i ++)
for(int j = 0; j < m; j ++)
{
tmp[i][j] = 0;
for(int k = 0; k < m; k ++)
tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % K;
}
for(int i = 0; i < m; i ++)
for(int j = 0; j < m; j ++)
res[i][j] = tmp[i][j];
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("BZOJ1009.in", "r", stdin);
freopen("BZOJ1009.out", "w", stdout);
#endif
scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
scanf("%s", a + 1);
for(int i = 1; i <= m; i ++)
*(a + i) -= '0';
pre[1] = 0;
for(int i = 2; i <= m; i ++)
{
int p = pre[i - 1];
while(p && (a[p + 1] != a[i]))
p = pre[p];
pre[i] = ((a[p + 1] == a[i]) ? (p + 1) : p);
}
memset(trans, 0, sizeof(trans));
for(int i = 0; i < m; i ++)
for(int j = 0; j < 10; j ++)
{
int p = i;
while(p && (a[p + 1] != j))
p = pre[p];
if(a[p + 1] == j)
p ++;
trans[p][i] = (trans[p][i] + 1) % K;
}
memset(ans, 0, sizeof(ans));
for(int i = 0; i < m; i ++)
ans[i][i] = 1;
while(n)
{
if(n & 1)
mul(ans, trans, ans);
mul(trans, trans, trans);
n >>= 1;
}
int sum = 0;
for(int i = 0; i < m; i ++)
sum = (sum + ans[i][0]) % K;
printf("%d", sum);
}