pat 团体天梯赛 L3-009. 长城

L3-009. 长城

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判题程序

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作者

邓俊辉（清华大学）

正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

图 1

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。 然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

图 2

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

图 3

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式：

输入在第一行给出一个正整数N（3 <= N <=10⁵），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间 [-10⁹, 10⁹) 内的整数，且没有重合点。

输出格式：

在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例：

10
67 32
48 -49
32 53
22 -44
19 22
11 40
10 -65
-1 -23
-3 31
-7 59

输出样例：

2

思路：类似构造凸包的算法，通过分析烽火台节点所构成向量的旋转关系来判断是否要设置新的烽火台。
AC代码：

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
#define N_MAX 100000+20
#define INF 0x3f3f3f3f
int n;
struct P {
    double x, y;
    P() {}
    P(double x, double y) :x(x), y(y) {}
    P operator +(P p) {
        return P(x + p.x, y + p.y);
    }
    P operator -(P p) {
        return P(x - p.x, y - p.y);
    }
    P operator *(double d) {
        return P(x*d, y*d);
    }
    double det(P p) {
        return x*p.y - y*p.x;
    }
};
P p[N_MAX];

bool is_ok(P p1, P p2, P p3) {//逆时针，返回true,当前点当作瞭望台，否则抛弃
    return (p2 - p1).det(p3 - p2)>0;
}
int vis[N_MAX],qs[N_MAX];

int main() {
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
        }
        int cnt = 0;//当前设置的瞭望塔数目
        for (int i = 0; i < n;i++) {
            if (cnt >= 2) {//前面已经至少有两座瞭望塔，可以比较向量旋转关系了
                while (cnt >= 2 && !is_ok(p[qs[cnt - 2]], p[qs[cnt - 1]], p[i]))cnt--;
                vis[qs[cnt-1]] = true;
            }
            qs[cnt++] = i;//下一次循环测试当前节点成为瞭望塔是否合适,暂且加入行列
        }
        int num = 0;
        for (int i = 1; i < n;i++) {
            if (vis[i])num++;
        }
        printf("%d
",num);
    }
    return 0;
}