动态规划之矩阵连乘问题

• 矩阵连乘问题

1. 问题描述：给定n个矩阵{A₁,A₂,...,An}，其中A_i与A_i+1是可乘的，i=1,2,...,n-1。如何确定矩阵连乘乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘乘积所需要的数乘次数最少。
2. 小栗子：有四个矩阵A,B,C,D,它们的维数分别是：A=50*10, B=10*40, C=40*30, D=30*5，连乘顺序用括号的方式表达，连乘乘积ABCD的优先顺序共有5种：(A((BC)D)) 16000   (A(B(CD))) 10500   ((AB)(CD)) 36000   (((AB)C)D) 87500   ((A(BC))D) 34500，序列后面的数字表示按此计算需要计算的乘法次数。

• 动态规划：将矩阵连乘乘积AiAi+1...Aj简记为A[i:j],i<=j。考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵A_k和A_k+1之间将矩阵链断开，i<=k<j，则A[i:j]的计算量为：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[k+1,j]相乘的计算量。
  

• 整个栗子：6个矩阵A~F，它们的维数分别是：A=20*25, B=25*5, C=5*15, D=15*10, E=10*20, F=20*25, 求出最优的的连乘序列。

          C语言实现：

        

// Hello, i'm JJU-干干

/*
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+                                                                                                  
+ 用一个二维数组m存放最优值，即矩阵连乘做乘法计算的最少次数      
+ 用一个二维数组s存放断开的位置                                                    
+ 用一个一维数组p存放各矩阵的维度数，n个矩阵，就有n+1个维度数  
+                                                                                                  
+                                                                                                 
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/

#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define size 100

void MatrixChain( int n, int m[][size] , int s[][size], int p[])
{
    int i, r, j, k,temp;
    for( i=1; i<=n; i++)  //对存放最优值的二维数组进行初始化，初始化为0
        m[i][i]=0;

/*
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+                                                                                     
+ 第一层for循环用来搞矩阵连乘的长度，即矩阵的个数，r的   
+ 初始值为2，很明显，只有一个矩阵就没有连乘的意义了。    
+                                                                                     
+ 第二层for循环用来确定矩阵连乘片段的左右边界                 
+                                                                                     
+ 第三层for循环用来搞断开位置                                          
+                                                                                       
+ 注意：假设p[0]是第一个矩阵的行数，p[1]是第一个矩阵      
+ 的列数，p[2]是第二个矩阵的行数，p[3]是第二个矩阵的      
+ 列数 ，...... , p[n-1]是第n个矩阵的行数，p[n-1]是第n个矩   
+ 阵的列数。                                                                    
+                                                                                     
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
*/

    for( r=2; r<=n; r++)  
        for( i=1; i<=n-r+1; i++)  // i为左边界，即所求连乘片段的第一个矩阵；j为右边界，即所求连乘片段的最后一个矩阵
        {
            j=i+r-1;        
            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];   // 先假定断开最左边的矩阵作为最优断开位置
            s[i][j] = i;
            
            for( k=i+1; k<j; k++)      //从i+1断开开始是因为上面已经算完了从i断开，即算完了断开最左边
            {
                temp = m[i][k] + m[k+1][j] +p[i-1]*p[k]*p[j];    // 计算做乘法计算的次数
                if(temp<m[i][j])   // 最优值的更替
                {
                    m[i][j] = temp;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
}

void TraceBack( int i,int j, int s[][size])   //打印括号的函数，运用了分治的思想
{
    char ch='A';
    if(i==j)           //递归出口：矩阵连乘片段切分成只有一个矩阵是
    {printf("%c",ch+i-1); return;}  // 注意：记得写return，返回值为空
    printf("(");
    TraceBack(i, s[i][j],s);
    TraceBack(s[i][j]+1,j,s);
    printf(")");
}

void main()
{
    int n,i;
    int m[size][size],s[size][size], p[size];
    printf("请输入矩阵连乘的个数：");
    scanf("%d", &n);
    printf("请顺序输入%d个矩阵的各个维度（共%d个数）",n,n+1);
    for(i=0; i<=n; i++)
        scanf("%d", &p[i]);
    MatrixChain(n, m, s, p);
    printf("最优连乘次序为：");
    TraceBack(1,n,s);
    printf("
");
    system("pause");
}

运行结果：

Python实现：

# Hello, i'm JJU-干干

def MatrixChain(n,m,s,p):
    for i in range(1,n+1):
        m[i][i] = 0

    for r in range(2,n+1):
        for i in range(1,n-r+2):
            j = i+r-1
            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j]
            s[i][j] = i

            for k in range(i+1,j):
                temp= m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]
                if temp < m[i][j]:
                    m[i][j] = temp
                    s[i][j] = k

def TraceBack(i,j,s):
    ch = ord('A')
    if i==j:
        print(chr(ch+i-1),end="")
        return
    print("(",end="")
    TraceBack(i,s[i][j],s)
    TraceBack(s[i][j]+1,j,s)
    print(")",end="")


if __name__ == '__main__':
    m = [[0 for i in range(100)] for j in range(100)]
    s = [[0 for i in range(100)] for j in range(100)]
    n = int(input("请输入矩阵连乘的个数："))
    p=eval(input("请输入%d个矩阵的各维度数（共%d个数）："%(n,n+1)))
    MatrixChain(n,m,s,p)
    print("最优的矩阵连乘序列为：",end="")
    TraceBack(1, n, s)

运行结果：