数论1.1（一些函数及筛法）

一些定义

数论函数：定义域在正整数的函数

积性函数：(forall aperp b,f(ab)=f(a) imes f(b))

完全积性函数：(forall a,b,f(ab)=f(a) imes f(b))

栗子

• 常数函数$$1(i)=1$$
• 幺元函数$$e(n)=[n=1]$$
• 恒等函数$$id(n)=n$$

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欧拉函数

(phi(i))表示(1-i)中与(i)互质的数的个数

引理：

• 如果(n)为素数p，(phi(n)=n-1)
• 如果(n)为素数的次方，(phi(p^a)=(p-1) imes p^{a-1})
• 如果(n)为两数之积，(phi(a imes b)=phi(a) imesphi(b))
• 若(n=p_1^{a1} imes p_2^{a2} imes... imes p_k^{ak}), (phi(n)=n imes (1-1/p_1) imes (1-1/p2) imes ... imes(1-1/p_k))

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欧拉定理

(IF aperp m, a^{phi(m)}equiv 1 (mod m))

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欧拉函数的线性筛法

• 性质1 (phi(p)=p-1)
• 性质2 (IF i mod p=0, (i*p)=p*phi(i))
  证明
  ( ecause n)与(i)不互质，( herefore i)与(n+i)不互质
  ( ecause [1,i])中不与i互质的数有(i-phi (i))个，
  ( herefore(i+1,p imes i])中一共有(p imes phi(i))个数(perp i imes p)
• 性质3 (IF i mod p eq0, (i*p)=(p-1)*phi(i))

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调和级数

[1+frac 1 2+ frac 1 3 + frac 1 4 + ...approx ln n ]

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除数函数

[sigma _k(n)=sum_{d|n}d^k ]

(sigma_0)表示因子个数
(sigma_1)表示因子和
积性函数

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狄利克雷卷积

[f*g=h ]

[h(z)=sum_{x*y=z} f(x)*g(y) ]

有交换律和结合律
如果(f,g)都是积性函数，(h)是积性函数

• 验证卷积
  [h(p^k)=sum_{i=0}^kf[(p^i) imes g(p^{k-i}) ]

栗子

• (varphi*1=id)即(sum_{d|n}varphi(d)=n)
• (varphi=mu *id)
• (sigma=id*e)
• (e=mu*1)
• (id=varphi*1)

给定(f,g),求卷积前n项的做法-->暴力(O(n ln n))

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莫比乌斯函数

[n=p_1^{k_1} imes p_2^{k_2} imes p_3^{k_3} imes .. imes p_m^{k_m} ]

[if squarefree mu(n)=(-1)^m$$(就是说每一项的系数都是一次) $$otherwise mu(n)=0]

[mu(n)=mu(p_1^{k_1}) imes mu(p_2^{k_2}) imes ... imesmu(p_m^{k_m}) ]

积性函数，但不是完全积性函数

[sum_{d|n} mu(d)=[n=1]$$可改写为$$u*1=e ]

证明：

[n=p_1^{k_1} imes p_2^{k_2} imes p_3^{k_3} imes .. imes p_m^{k_m} ]

[n_0=p_1 imes p_2 imes p_3 imes .. imes p_m ]

[sum_{d|n}mu(d)=sum_{d|n_0}mu(d) ]

当(p_1perp d) ,$$mu(dp_1)=mu(d) imesmu(p_1)=-mu(d)$$

[sum_{d|n}mu(d)=sum_{d|n_0}mu(d)=sum_{d|frac{n_0}{p_1}}(mu(d)+mu(dp_1))=0 ]

线性筛法

void Linear_Shaker(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!ism[i]) {prm[++tot] = i; mu[i] = -1;}
		for (int j = 1; j <= tot; j++)
		{
			int num = prm[j] * i;
			if (num > n) break;
			ism[num] = 1;
			if (i % prm[j] == 0) break;
			mu[num] = -mu[i];
		}
	}
}

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莫比乌斯反演

[g=f*1 ]

如果知道(f,1)直接求就行了啊

但是如果只知道(g,f)呢

反演！！！

[g=f*1 ]

[g*mu=f*1*mu ]

[g*mu=f*e ]

就是说

[g(m)=sum_{d|m} f(d)Leftrightarrow f(m)=sum_{d imes k=m} g(d) imes mu(k) ]

栗子

• YY的gcd

  

  [g(k)=sum_{pin Pwedge pd=k}mu(d) ]
  [f(p)=[pin P] ]
  [g(k)=sum_{pd=k}mu(d)*f(p) ]

  预处理卷积！！

  然后每组询问的答案变成$$sum_{k=1}^{min(n,m)} lfloor frac n k floorlfloor frac m k floor g(k)$$

  (lfloor frac n k floorlfloor frac m k floor)只有(O(sqrt n))种取值

• 数表

  也就是说((i,j)=sigma(gcd(i,j)))

  记(f_a[d])表示(gcd(i,g)=d)的格子的贡献

  [f_a[d]=left{egin{matrix}0,&sigma(d)>a&\ sigma(d),&oterwiseend{matrix} ight. ]
  [ans=sum_df_a[d]sum_kmu(k)lfloorfrac n{dk} floorlfloorfrac m {dk} floor=sum_tlfloorfrac n t floorlfloorfrac m t floor(sum_{dk=t}f_a[d]mu(k)) ]

  把所有变量离线下来，每次修改改变的h复杂度(O(n ln n))

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杜教筛

• (summu)

  [mu*1=e ]
  [f(n)=1-sum^n_{i=2}f(lfloor frac n i floor) ]

  预处理前(n^{frac 23})的(mu)时间复杂度是(O(n^{frac 2 3}))

int Mu(int n)
{
if(n<N) return mu[n];
if(mu[n]) return mu[n];
int res=0;
for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
{
r=n/(n/l);
res+=(r-l+1)*Mu(n/l);
}
return mu[n]=1-res;
}

- $sumvarphi$

同↑

```cpp
int Phi(int n)
{
    if(n<=N) return phi[n];
    if(P[n]) return P[n];
    int res=0;
    for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        res+=(r-l+1)*Phi(x/i);
    }
    return P[n]=n*(n+1)/2-res;
}

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拉格朗日插值

给出n个点((x_i,y_i)) 找出一个过所有点的多项式(f(x))

对于每一个点找一个函数使这个函数只在对应 (x_i)时取值是(y_i)其余(x)取值都是0

[f(x)=sum_{y=1}^nprod_{j e i}frac{x-x_i}{x_i-x_j} ]

预处理(P(x)=prod(x-x_i)) (n^2)求出(f(x))