• 矩阵连乘(有关区间dp)


      将每一个两两相乘的最优先记录好

    先计算出小的区间的最优,于是可以推出大的区间的最优。以下是求解的顺序,先把1-2、2-3等等相差为1的计算出答案,

    然后求1-3、 2-4等等相差为2的最优答案,以此类推,右上角的格子为问题的解。

    2-5(即:2、 3、 4、 5)这个区间,可由2-3与3-5构成,还能由2-4与4-5构成,有下图。

    看看实例.

    算法设计例题:矩阵连乘(DP)

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    Description

    给定n个矩阵{ A1A2,…,An },保证AiAi+1是可乘的,i = 1,2,…,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A1A2An。由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。现要求设计一个高效的算法,对给定的n个矩阵确定一个计算次序使得总的乘法次数最少,并输出该最优值。

    Input

    输入的第一行是单独一个整数T,表示案例的数目。每个案例的第一行是单独一个n ( 1 ≤ n≤ 50 ),表示矩阵的个数。接下来第n行,依序分别对应第i个矩阵,每行包括两个整数xiyi(1 ≤ i ≤ n,1 ≤ xi , yi ≤ 100 ),表示该矩阵的行数和列数。保证n个矩阵依序是可乘的。

    Output

    每个案例输出一个整数,表示最少需要的乘法次数。

    Sample Input

    1
    4
    50 10
    10 40
    40 30
    30 5

    Sample Output

    10500

     1 #include<cstdio>
     2 using namespace std;
     3 const int maxn=60;
     4 int dp[maxn][maxn],a[maxn];///a记录每个行列
     5 
     6 int main()
     7 {
     8     int n,T;
     9     while( ~scanf("%d",&T)){
    10         while( T--){
    11             scanf("%d",&n);
    12             for(int i=1;i<=n;i++){
    13                 dp[i][i]=0;
    14                 scanf("%d%d",&a[i-1],&a[i]); 
    15     ///因为前一个的列等于后一个的行,所以可以进行覆盖
    16             }
    17 
    18             int temp;
    19             for(int num=2;num<=n;num++){ ///次数
    20                 for(int i=1;i<=n-num+1;i++){
    21                     int j=i+num-1; ///前一个的位置
    22                     dp[i][j]=dp[i+1][j]+a[i-1]*a[i]*a[j]; ///按顺序计算的解。
    23                     for(int k=i+1;k<=j-1;k++){
    24                         temp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
    25                     ///区间解
    26                         if(dp[i][j]>temp)
    27                             dp[i][j]=temp;
    28                     }
    29                 }
    30             }
    31             printf("%d
    ",dp[1][n]);
    32         }
    33     }
    34     return 0;
    35 }            
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