小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。
作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌:
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 否则(是最后一张),结束这一轮游戏。
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张
2.1将其以 pi的概率发动技能。
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,考虑下一张卡牌。
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
solution
这题好难啊。。。。
要统计伤害的期望,肯定要转化为每个技能的伤害乘每个技能打出伤害的概率。
那么这个概率怎么算呢?
这时一个玄学的dp方程来了,我们设dp[i][j]表示前i张牌,打出了j张牌的概率。
如何转移??
这个状态的优越性在于我们考虑第i张牌,有j张牌在前i张被打出了,所以有j轮是不用考虑i这张牌的,那么r-j轮一定是会考虑第i张牌的。
所以dp[i][j+1]+=dp[i-1][j]*(1-(r-j轮都不会出现的概率),i不会被选上的概率为dp[i][j]+=dp[i-1][j]*(r-j轮都不选上的概率)。
接下来就是统计答案环节了,我们枚举前面有几张牌被选,那么就有r-j轮考虑了i这张牌,答案转移同上。
Code
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define N 230 #define M 150 using namespace std; double f[N][M],pe[N][M],p[N],d[N],ans; int n,r,t; int main(){ scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%d%d",&n,&r); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]); for(int i=1;i<=n;++i){ pe[i][0]=1; for(int j=1;j<=r;++j)pe[i][j]=pe[i][j-1]*(1.0-p[i]); } memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=1; for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=0;j<=r;++j){ f[i][j+1]+=f[i-1][j]*(1.0-pe[i][r-j]);//计算第i张牌在后r-j轮中出现的概率 f[i][j]+=f[i-1][j]*pe[i][r-j];//后面r-j轮中i都没有出现 } } ans=0; for(int i=1;i<=n;++i){ double sum=0; for(int j=0;j<=r;++j) sum+=f[i-1][j]*(1.0-pe[i][r-j]);//这个转移是统计答案用的,原理同上 ans+=sum*d[i]; } printf("%.10lf ",ans); } return 0; }