[CQOI2016]伪光滑数

题目描述

若一个大于1的整数M的质因数分解有k项，其最大的质因子为A_k，并且满足A_k^K<=N,A_k<128，我们就称整数M为N-伪

光滑数。现在给出N，求所有整数中，第K大的N-伪光滑数。

题解

题面的k意思是将这个数质因数分解后所有的质因子的指数和。

我们先把128以内的所有素数找出来，然后做一个dp。

我们令dp[i][j]表示当前数的最大的质因子为p[i]，当前所有素因子的指数和为j的数的集合。

我们再令g[i][j]表示当指数和位j时，所有最大质因子小于等于p[i]的数的集合。

然后我们可以合并集合。

f[i][j]=∑g[i-1][j-k]*p[i]^k

g[i][j]=g[i-1][j]+f[i][j]

然后我们可以用函数式可并堆来维护所有的转移，在开一个全局的堆来维护所有的f。

然后一直弹堆顶就可以了。

注意pushdown

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int tot,prime[33],K,f[33][65],g[33][65];
ll n;
bool vis[130];
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
struct node{
    int i,j;ll val;
    node(int ii=0,int jj=0,ll v=0){i=ii;j=jj;val=v;}
    inline bool operator <(const node &b)const{return val<b.val;}
};
priority_queue<node>q;
struct tree{
    ll val,la;int l,r,d;
    tree(ll xx=0,ll yy=1,int lx=0,int rx=0,int dd=0){val=xx;la=yy;l=lx;r=rx;d=dd;}
}tr[16000002];
inline int newnode(int x,ll y){
    if(!x)return 0;
    int p=++tot;
    tr[p]=tr[x];tr[p].val=tr[p].val*y;tr[p].la=tr[p].la*y;
    return p;
}
inline void pushdown(int cnt){
    if(tr[cnt].la!=1){
        tr[cnt].l=newnode(tr[cnt].l,tr[cnt].la);
        tr[cnt].r=newnode(tr[cnt].r,tr[cnt].la);
        tr[cnt].la=1;
    }
}
int merge(int x,int y){
    if(!x||!y)return x|y;
    if(tr[x].val<tr[y].val)swap(x,y);
    pushdown(x);
    int p=newnode(x,1);
    tr[p].r=merge(tr[p].r,y);
    if(tr[tr[p].l].d<tr[tr[p].r].d)swap(tr[p].l,tr[p].r);
    tr[p].d=tr[tr[p].r].d+1;
    return p;
}
inline void prework(){
    int k;
    for(int i=2;i<=128;++i){
        if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&(k=i*prime[j])<=128;++j){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>K;
    prework();
    f[0][0]=g[0][0]=tot=tr[1].val=tr[1].la=1;
    for(int i=1;i<=prime[0];++i){
        f[i][0]=g[i][0]=1;
        for(ll pr=prime[i],j=1;pr<=n&&pr>0;++j,pr=pr*prime[i]){
            f[i][j]=0;
            for(ll prm=prime[i],k=1;k<=j;++k,prm=prm*prime[i]){
                f[i][j]=merge(f[i][j],newnode(g[i-1][j-k],prm));
            }
            g[i][j]=merge(g[i-1][j],f[i][j]);
            q.push(node(i,j,tr[f[i][j]].val));
        }
    }
    ll ans=0;
    while(K--){
        node x=q.top();q.pop();
        ans=x.val;
        pushdown(f[x.i][x.j]);
        f[x.i][x.j]=merge(tr[f[x.i][x.j]].l,tr[f[x.i][x.j]].r);
        q.push(node(x.i,x.j,tr[f[x.i][x.j]].val));
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}