数论基础

求素数（单个&线性筛）

单个素数判断
枚举看n是否能整除i。(O(sqrt{n}))

bool Prime(int x) {
    if (x < 2) return 0;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if (x % i == 0) return 0;
    return 1;
}

线性筛
保证每个和数只被最小的质因子筛掉。(O(n))

int prime[N], tot;//记录素数
bool v[N];//被标记说明不是素数
void Primes(int n) {
    v[0] = v[1] = 1;//0和1不是素数
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) prime[++tot] = i;//没有被标记过，是素数
        for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n/*这里比限制n大的就不用筛了*/; ++j) {
            v[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;//只被最小的质因子筛掉。
        }
    }
}

求欧拉函数（单个&线性筛）

欧拉函数

• 1～N 中与 N 互质的数的个数称为欧拉函数，记为 (varphi (N))
• 根据算术基本定理 (N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m})，则

[varphi (N)=N imes frac{p_1-1}{p_1} imes frac{p_2-1}{p_2} imes ... imesfrac{p_m-1}{p_m}=N imes prod_{质数p|N}(1-frac{1}{p}) ]

单个求法

• 根据欧拉函数的计算式，分解质因数即可进行求解。(O(sqrt{n}))

int Phi(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);//根据计算式计算
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    //如果最后n>1，则为一个大于根号n的一个质因子
    return ans;
}

线性筛欧拉函数

• 首先看两个性质

  1. 若 (p|n) 且 (p^2spacespace|spacespace n)，则 (varphi (n)=varphi (frac{n}{p})*p)
  2. 若 (p|n) 且 (p^2 ot| spacespace n),则(varphi (n)=varphi (frac{n}{p})*(p-1))

• 第一条

  • 若 (p|n) 且 (p^2|n)，则证明 (n) 和 (frac{n}{p}) 有相同的质因子，只是 (p) 这一项的指数不同
  • 那么我们可以将其按照欧拉函数的计算式展开，并相除，可得：

[frac{nprod_{i=1}^m(1-frac{1}{p_i})}{frac{n}{p}prod_{i=1}^{m}(1-frac{1}{p_i})}=frac{n}{frac{n}{p}}=p ]

• 第二条

  • 若 (p|n) 且 (p^2 ot|spacespace n)，则说明 (p) 与 (frac{n}{p})互质（因为p为素数）
  • 那么根据欧拉函数为积性函数的这个性质即可证得：

[varphi(n)=varphi(frac{n}{p})*varphi(p)=varphi(frac{n}{p})*(p-1) ]

• 由上面的两条性质可以线性算出 1~N 的欧拉函数值（在线性筛素数的基础上计算欧拉函数）

void Euler(int n) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!v[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; ++j) {
            v[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {//性质1
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);//性质2
        }
    }
}

扩展欧几里得算法

• 用途：求 (ax+by=gcd(a, b)) 的特解
• 证明：

[bx'+amod bcdot y'=gcd(b,amod b) ]

[bx'+(a-left lfloor frac{a}{b} ight floor)y'=gcd(b,amod b) ]

[ay'+b(x'-left lfloor frac{a}{b} ight floor y')=gcd(b,amod b) ]

所以得出

[x=y',y=x'-left lfloor frac{a}{b} ight floor y' ]

Code

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) return x = 1, y = 0, a;
    int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
    int z = x; x = y; y = z - a / b * y;
    return d;
}

• 上述代码 x,y 是以引用的方式传递的，此函数求出方程 (ax+by=gcd(a, b)) 的一组特解并返回 a,b 的最大公约数。还有一种较为简便的写法，将上述最后一个式子的x'替换成y'，y'替换成x'。得出以下结论：

[x=x',y=y'-left lfloor frac{a}{b} ight floor x' ]

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) return x = 1, y = 0, a;
    int d = Exgcd(b, a % b, y, x);//这里x，y是反着的
    y -= a / b * x;
    return d;
}

乘法逆元

• 定义：若整数 (a,m) 互质，并且 (b|a)，则存在一个 (x)，使得 (a/bequiv a cdot xpmod{m})，称 (x) 为 (b) 的模 (m) 乘法逆元，记为 (b^{-1}pmod{m})
• 求法：(b^{-1} = b^{varphi (p)-1})
• 线性求法：
  • 推导：

[ ext{设 } m=qcdot b+r ]

[qcdot b+requiv 0pmod{m} ]

[qcdot r^{-1}+b^{-1}equiv 0pmod{m} ]

[b^{-1}equiv -qcdot r^{-1}pmod{m} ]

[ ext{由 }q=m/b, r=mmod b ext{ 得} ]

[b^{-1}equiv -m/bcdot (mmod b)^{-1}pmod{m} ]

写出来就是inv[i] = (-M / i * inv[M%i] % M + M) % M;