96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

给出整数n，有多少中不同的存储着1到n的二叉搜索树。

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

这个题需要通过动态规划的方式来解。

首先找规律，a_n为存储着不同的1到n的二叉搜索树的数量，发现：

a₁=1;

a₂=2*a₁=2;

a₃=2*a₂+a₁*a₁=5;

a₄=2*a₃+2*a₂=14;

a₅=2*a₄+2*a₃*a₁+a₂*a₂=42;

……;

a_2n=2*a_2n-1+2*a_2n-2*a₁+…+2*a_n*a_n-1;

a_2n+1=2*a_2n+2*a_2n-1*a₁+…+a_n*a_n;

为了统一，设a₀=1，得出：

a_2n=2*a_2n-1*a₀+2*a_2n-2*a₁+…+2*a_n*a_n-1;

a_2n+1=2*a_2n*a₀+2*a_2n-1*a₁+…+2*a_n*a_n-a_n*a_n;

AC代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> r={1,1};
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int now=0;
            for(int j=i/2;j<i;j++){
                now+=2*r[j]*r[i-j-1];
            }
            if(i%2)now-=r[i/2]*r[i/2];
            r.push_back(now);
        }
        return r[r.size()-1];
    }
};