1、如果$gcd(i,j)==1$，且$i+j==k$，那么这样的数对数就是$phi(k)$。
也就是$gcd(i,j)==1$导出$gcd(i,k-i)==1$，进而$gcd(i,k)==1$，从而转化为$euler$。
2、https://www.cnblogs.com/henry-1202/p/10246196.html
3、https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8759124.html
4、https://www.cnblogs.com/remarkable/p/11364178.html
2、3、4是关于$euler$和迪利克雷的一些东西。
5、$phi(n)==n*prodlimits_{i=1}^{k} left ( frac{p_i-1}{p_i} ight )$，其中$p_i$表示在唯一分解下的所有质因。
$1 ightarrow n$中$p_1$的倍数有$frac{n}{p_1}$个，我们将它减去，$p_2$的倍数有$frac{n}{p_2}$个，我们将其减去，我们把$p_1$和$p_2$的公倍数减掉了2次，加回$frac{n}{p_1p_2}$，然后得到式子$n*(1-frac{1}{p_1}-frac{1}{p_2}+frac{1}{p_1p_2})$，即$n*(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})$，对所有质因子数学归纳，得到上述结论。
6、$phi$是积性函数。
$gcd(n,m)==1$时，$n$$m$没有相同的$p$，直接带入5的式子，然后发现没有一样的质因，那么$phi(n)phi(m)==phi(nm)$了。
7、$phi(p)==p-1$。
$1 ightarrow p-1$中所有数都和$p$互质。
8、$phi(np)==phi(n)p$，$p|n$。
有上述条件，$np$和$n$除了质因$p$的指数不一样，没有什么区别，带入5，可以上下约分，得到$p$，即$frac{phi(np)}{phi(n)}==frac{npprod (1-frac{1}{p_i})}{nprod(1-frac{1}{p_i})}==p$。
6、7、8共同支撑着$euler$的线性筛。
9、http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php
10、$sumlimits_{i=1}^{n-1}[ n|i^2 ]==frac{n}{prod p_i^{lceil frac{c_i}{2} ceil}}==prod p_i^{lfloor frac{c_i}{2} floor}==sumlimits_{d^2|n}phi(d)$。
11、$n$为奇数时，$phi(2n)==phi(n)$。
积性，$phi(2n)==phi(2)phi(n)==phi(n)$。这个东西有时候可以保证复杂度为$log$。
12、$p$为质数，$phi(p^k)==p^k-p^{k-1}$。
带入计算式可得。
13、$1 ightarrow n$中与$n$互质的数的和为$frac{nphi(n)}{2}$。
根据更相减损，与$n$互质的数成对出现，共$frac{phi(n)}{2}$对，每对的和为$n$。可得。
那么其实$phi(n)$是偶数也是这个意思来的。
14、$sumlimits_{d|n}phi(d)==n$。即$phi *1==Id$。
设$f(n)==sumlimits_{d|n}phi(d)$，那么egin{aligned} &f(n)*f(m)\ &=sum_{i|n}phi(i)*sum_{j|m}phi(j)\ &=sum_{i|n}sum_{j|m}phi(i)*phi(j)\ &=sum_{i|n}sum_{j|m}phi(i*j)\ &=sum_{d|nm}phi(d)\ &=f(nm) end{aligned}
故$f(n)$积性。
$f(p^k)==phi(1)+phi(p)+phi(p^2)+……+phi(p^k)==1+p-1+p^2-p+……+p^k-p^{k-1}==p^k$。
$f(n)==f(prod p_i^{c_i})==prod f(p_i^{c_i})==prod p_i^{c_i}==n$。 得证。
15、$sumlimits_{d|n}mu(d)==[n==1]$，即$mu*1==epsilon $。
好证，有点长，不想写了。分成$n==1$，$n$为质数，$n$为合数讨论，前两个直接算显然，后者先除去$mu(d)==0$的情况，然后用二项式定理$(1-1)^n$即可。
16、$phi(n)==sumlimits_{d|n}mu(d)frac{n}{d}$，即$frac{phi(n)}{n}==sumlimits_{d|n}frac{mu(d)}{d}$ ，也即$phi=mu*Id$。
egin{aligned}&phi*1=Id \&phi*1*mu=Id*mu \&phi*epsilon=mu*Id end{aligned}
得证。
17、一个随机排列中比前面所有数都大的数的数量期望为log
18、考试密码是考试分加www或mmm，随心情而定（主要是困不困）。
19、一个数在质因分解下2的幂数，等于其在二进制下末尾0的个数。
20、一张简单无向图所有点的度数不可能两两互不相同。
21、森林结构的联通块个数等于（点数-边数）。
22、https://images2017.cnblogs.com/blog/1189392/201709/1189392-20170901143915108-1970936753.png
逛博客看到的图。
23、$sumlimits_{i=1}^{n}[mu(i)==0]$==$n-sumlimits_{i=1}^{n}mu(i)^2$==$sumlimits_{i=1}^{sqrt{n}}mu(i)frac{n}{i^2}$。
前两个显然，后面的考虑容斥，然后就可以杜教筛了。
24、对于一个只有Dsu合并过程的初始全1数列，集合大小的种类最多只有$sqrt{n}$级别。
最坏情况是1、2、3、4、5、6……，根据等差数列求和，最多只有$sqrt{n}$。
25、$sumlimits_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^2$==$C_{2n}^{n}$
根据范德蒙恒等显然（虽然我一直以为这是我的两棵枣树理论）。
26、碰到比较$prod X$,$prod Y$的东西，可以取$log$，变成比较$sum logX$和$sum logY$。显然后者规模很小。
27、http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php
在线Latex好啊。