写在前面
由于上一篇数学相关分版块记录定理及证明，对于小定理等略有繁琐，故新开一篇博客记录一些数学小芝士，以此备忘。
关于质因子
(1-2 imes 10^9) 中任何数的不同质因子都不会超过 (10) 个，且所有质因子的指数总和不超过 (30)。
证明：因为最小的 (11) 个质因子相乘 (2 imes 3 imes 5 imes 7 imes 11 imes 13 imes 17 imes 19 imes 23 imes 29 imes 31>2 imes 10^9)，所以 (Nleq 2 imes 10^9) 不可能有多于 (10) 个不同质因子。
因为即使只包含最小的质数，仍然有 (2^{31}>2 imes 10^9) ，所以 (Nleq 2 imes 10^9) 的质因子质数总和不会超过 (30)。
欧拉函数
[sum _{dmid n}phi(d)=n
]
扩展欧拉定理
[a^bequiv egin{cases}a^{b\% phi(p)};;;qquad gcd(a,p)=1\a^bqquad;qquad;; gcd(a,p)
e1,b<phi(p)\a^{b\%phi(p)+phi(p)}quad gcd(a,p)
e1,bgeqphi(p)end{cases} qquad (mod;p)
]
小引理
若 (gcd(a,n)=1)，则满足 (a^xequiv 1quad (mod;n)) 的最小正整数 (x_0) 是 (phi(n)) 的约数。
范德蒙德卷积
[sum_{i+j=k} C_n^i imes C_m^j = C_{n+m}^k
]
不会证的东西
[lfloor{frac{lfloor{frac{n}{i}}
floor}{j}}
floor=lfloor{frac{n}{i imes j}}
floor
]
[x; ext{mod};yz; ext{div};z=x; ext{div};z; ext{mod}; y
]
带根号求(k)次方
有时候需要求这个式子：((a+bsqrt c)^k)。比如说求一下这个式子的整数部分。或许会有特性是((a-bsqrt c)<1)
直接求？精度误差很大。
有个结论是:((a+bsqrt c)^k+(a-bsqrt c)^k) 肯定是个整数。
证明可以用二项式定理那一套证，指数是偶数的是整数，指数是奇数的直接消掉了。
又观察到((a-bsqrt c)^k)是个非常非常小的小数，所以我们求的式子的整数部分就是这个整数减去1了。