[UOJ310] 黎明前的巧克力

Sol

某比赛搬了这题。

首先选择两个不交非空子集且异或和为0的方案数，等价于选择一个异或和为0的集合，并把它分成两部分的方案数。
这显然可以DP来算，设 (f[i][j]) 表示前(i)个数异或和为(j)的方案数，那么转移就是 (f[i][j]=f[i-1][j]+2cdot f[i-1][j; ext{xor};a[i]])

如果设 (b_i[0]=1,b_i[a[i]]=2,b_i[j]=0)，那么这个转移就是求(f)与(b_i; ext{xor})卷积的过程，可以用FWT优化，但是复杂度似乎更爆炸了。

如果我们可以把每个(b) FWT之后的结果都求出来并乘在一起，最后在对应位置乘到(f)上，再把(f) IFWT回去不就好了嘛！

如果把(b_i)数组FWT之后的结果打印出来，会发现所有位置不是(3)就是(-1)，大概是因为这个(2)对每一项的贡献要么是(2)要么是(-2)。

我们可以先把(b_i)数组整个加起来，对它做一次FWT。

因为FWT的和等于和的FWT。对于FWT之后的第(i)项(s)，设这位有(x)个数为(-1)，那么就有(n-x)个数为 (3)，且(3(n-x)-x=s)，解得 (x=large frac{3n-s}4) 。那么FWT之后这一项的值就是 ((-1)^x3^{n-x})。

然后乘到(f)上再IFWT回去就行了。

（uoj被卡了我不知道这代码能过否
（mp数组开小了，已经改过来了

Code

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int N=1048578;
const int maxn=1048576;
const int mod=998244353;
const int inv2=(mod+1)/2;

int n,f[N],b[N],po[N];

void Mul(int &x,int y){x=1ll*x*y%mod;}
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
void Dec(int &x,int y){x=x-y<0?x+mod-y:x-y;}
int dec(int x,int y){return x-y<0?x+mod-y:x-y;}
void Inc(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int inc(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}

int ksm(int a,int b=mod-2,int ans=1){
    while(b){
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a); b>>=1; 
    } return ans;
}

void fwt(int *f,int opt){
    for(int mid=1;mid<maxn;mid<<=1){
        for(int R=mid<<1,j=0;j<maxn;j+=R){
            for(int k=0;k<mid;k++){
                int x=f[j+k],y=f[j+k+mid];
                f[j+k]=inc(x,y),f[j+k+mid]=dec(x,y);
                if(opt<1) Mul(f[j+k],inv2),Mul(f[j+k+mid],inv2);
            }
        }
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n); f[0]=1; fwt(f,1);
    po[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) po[i]=mul(po[i-1],3);
    for(int x,i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x),b[0]++,b[x]+=2;
    fwt(b,1); int ni=ksm(4);
    for(int i=0;i<maxn;i++){
        int x=mul(dec(n*3,b[i]),ni);
        Mul(f[i],x&1?mod-po[n-x]:po[n-x]);
    } fwt(f,-1); printf("%d
",dec(f[0],1));
}