第二类斯特林数
定义
第二类斯特林数 (S(n,m)) 表示把 (n) 个不同的小球放进 (m) 个相同的盒子里的方案数。
求法
递推:
(S(n,m)=S(n-1,m-1)+mcdot S(n-1,m))
讨论最后一个球是否单独成盒。
容斥:
[S(n,m)=frac 1{m!}sum_{k=0}^m (-1)^kcdot C(m,k)cdot(m-k)^n
]
枚举空盒的个数,剩下的随便放,盒子是相同的最后要除以 (m!)
化简一下就是 $$S(n,m)=sum_{k=0}^m(-1)^kcdot frac{(m-k)^n}{(m-k)!k!}$$
这式子是个卷积,所以可以在 (O(nlog n)) 的时间内求出 (S(n,0),S(n,1)dots)
性质
[n^k=sum_{i=0}^nS(k,i) imes i! imes C(n,i)
]
左边是 (k) 个球随意放在 (n) 个盒子里方案数
右边是枚举有球的盒子个数 (i),那就是把 (k) 个球放进 (i) 个盒子的方案数(盒子不同所以乘上 (i!)),里面再乘上 (n) 个盒子选 (i) 个的方案数。
例题
[HEOI2016] 求和
傻逼题,把斯特林数展开就没了。
#include<bits/stdc++.h>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define inv(x) ksm(x,mod-2)
#define pii std::pair<int,int>
#define all(A) A.begin(),A.end()
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
const int N=4e5+5;
const int mod=998244353;
int n,lim;
int fac[N],ifac[N];
int rev[N],a[N],b[N];
int ksm(int a,int b,int ans=1){
while(b){
if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
} return ans;
}
void ntt(int *f,int opt){
for(int i=0;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
int tmp=ksm(3,(mod-1)/(mid<<1));
if(opt<0) tmp=inv(tmp);
for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
int w=1;
for(int k=0;k<mid;k++,w=1ll*w*tmp%mod){
int x=f[j+k],y=1ll*w*f[j+k+mid]%mod;
f[j+k]=(x+y)%mod,f[j+k+mid]=(mod+x-y)%mod;
}
}
} if(opt<0){
for(int in=inv(lim),i=0;i<lim;i++) f[i]=1ll*f[i]*in%mod;
}
}
int getint(){
int X=0,w=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
if(w) return -X;return X;
}
signed main(){
n=getint();
lim=1;while(lim<=n+n) lim<<=1;
for(int i=1;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?lim>>1:0);
fac[0]=ifac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
ifac[n]=inv(fac[n]);
for(int i=n-1;i;i--) ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
for(int i=0;i<=n;i++){
a[i]=(1ll*ifac[i]*(i&1?mod-1:1)%mod+mod)%mod;
b[i]=(1ll*(ksm(i,n+1)-1+mod)%mod*inv(i-1)%mod*ifac[i]%mod+mod)%mod;
} b[1]=n+1;
ntt(a,1),ntt(b,1);
for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
ntt(a,-1);ll now=1,ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
a[i]=1ll*a[i]*fac[i]%mod*now%mod;
(ans+=a[i])%=mod;
now=now*2%mod;
} printf("%lld
",ans);
return 0;
}