m个苹果放入n个篮子

题目 ：X个相同的苹果放入Y个篮子，
（1）篮子可以为空 ，篮子不同。 放法有C(X+Y-1,Y-1 );//
 (2)篮子不可以为空，篮子不同.放法有C(X-1,Y-1) //插挡板法 

       分析有了这个组合公式，参考我的 求组合数 程序即可解决问题。
(3)篮子可以为空，篮子相同。按上面程序求解 递推公式dp[i][j]=dp[j-i][i]+dp[j][i-1]

#if 0
/*
m个相同的苹果放入n个相同的篮子，篮子可以为空。
下面两种方法求解，动态规划和递归。但都须知：
dp[0][j]=0;含义为:j（j>0）个苹果放入0个篮子，没有地方放，放法为0.
dp[i][0]=1;0个苹果放入i个篮子，每个篮子都为空，放法为1.
dp[0][0]=1;当然，0个苹果放到0个篮子放法为1.即0！=1；
还有 dp[i][j],i>j时，即篮子数大于苹果数是dp[i][j]=dp[j][j],含义为 把2个苹果放到5个篮子的放法和把2个苹果放到2个篮子放法数相同。
*/
int dp[100][100];//全局，默认初始化为0
int n,m;
int main()
{
    
    m=5;n=3;
    int i,j;
//全局变量默认初始化为0可以无需初始化了。    

//     for (j=0;j<m;j++)//苹果

//     {
//         dp[0][j]=0;
//     }
    //可以再拆分，也无需初始化。
//     for (i=0;i<n;i++)//篮子
//     {
//         dp[i][0]=1;
//     }
        dp[0][0] = 1;
        
        for(i = 1; i <= n; ++i)//篮子
            for( j =0; j <= m; ++j)//苹果
            {
                if(j>=i)
                {
                    dp[i][j] = dp[i][j-i] + dp[i-1][j];
                    cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"] = dp["<<i<<"]["<<j-i<<"] + dp["<<i-1<<"]["<<j<<"]";
                    cout<<":"<<dp[i][j]<<" = "<<dp[i][j-i]<<" + "<<dp[i-1][j];
                }
                else 
                {
                    dp[i][j] = dp[j][j];
                    cout<<"dp["<<i<<"]["<<j<<"] = dp["<<j<<"]["<<j<<"]";
                    cout<<":"<<dp[i][j]<<" = "<<dp[j][j];
                }
             cout<<endl;
      
            }            
             cout<<dp[n][m]<<endl;            
    //}    
    return 0;    
}
#endif

//递归求解
#if 0
int fun(int n,int m)
{
    if (n==0&&m!=0)//篮子为空
       return 0;
    else if (m==0)
    {
      return 1;   
    }
    else if (m>=n)
    {
      return fun(n,m-n)+fun(n-1,m);
    }
   else
      return fun(m,m);  
 
}
int main()
{
    int n=3,m=7;
    
    cout<<fun(n,m)<<endl;
}
#endif

测试数据： 3 7 count=8
               3 5 count=5

（4）篮子不可以为空，篮子相同。没有递推公式：但是dp[X][Y]=dp[X-Y][Y], 计算dp[X-Y][Y]可以用（3）中递推公式。
下面求解（4）的情况

//篮子不可以为空，即m>=n;
int count=0;
int fun(int n,int m)
{
    if (n==0&&m!=0)//篮子为空
        count=0;
    else if (m==0)
    {
        count=1;         
    }
    else if (m>=n)
    {
        count=fun(n,m-n)+fun(n-1,m);
    }
    else
        count=fun(m,m);        
    
    return count;    
}

int main()
{
    int n=3,m=7;
    fun(n,m-n);
    cout<<count<<endl;
}
//测试数据： 3,5 count=2;
           3,7 count=4;

数学模型为正整数的分拆

详见组合数学书第二章

1、C(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个相同的 盒子中,不许空盒,有多少种放法.

2、P(n,r) 从n个不同的球中取出r个,放进r个不相同 的盒子中,不许空盒,有多少种放法.

3、 r个相同的球放进n个不同的盒子中,允许 空盒,有多少种放法. 正整数的有序拆分

4 、n个无区别 的球放进r个无区别的盒子，允许空盒。正整数的无序拆分.

书上公式：

n拆分为m个无序的数：

              1                   m=1或n=1

Q(n,m)= Q(n,n)            m>n

              1+Q(n,n-1)    m=n

              Q(n,m-1)+Q(n-m,m)