[数论]快速幂取模

问题描述：

已知底数a，指数b，取模值p，求 a^b % p 的值

---

朴素算法

设初始值为1，循环b次，每次乘上a后再取模一下

时间复杂度为O(n)，虽然看着不高，但是一旦指数给得过大，肯定会TLE

这里代码就不给出来了，就是一个简单的循环

---

快速幂

先不讨论取模，根据幂运算可知

当b为偶数时：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

当b为奇数时：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

比如：2⁸=4⁴=16²=256  直观一点：2*2*2*2*2*2*2*2=4*4*4*4=16*16=256

比如：2⁹=4⁴*2=16²*2=256*2=512  直观一点：2*2*2*2*2*2*2*2*2=4*4*4*4*2=16*16*2=256*2=512

也就是每次将指数除以2，底数变为原来的平方，如果指数为奇数，则单独取一个出来另乘

时间复杂度为O(logn)

int pow_mod(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1)//等价于判断奇偶
            ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;//将指数除以2
    }
    return ans;
}

---

快速幂取模

由于幂的算术递增地非常快，long long也很容易超，这时候就需要取模一下，一般都是模以一个质数

这时候我们需要了解数论中模运算的分配律：

(a*b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p

根据上述定理，我们还可以得到：

a^b % p = (a % p)^b % p

也就是指，在乘法中，模的顺序并不影响最后的结果

然后我们就可以在做快速幂的过程中加上模运算

int pow_mod(int a,int b,int p){
    int ans=1,base=a%p;
    while(b){
        if(b&1)//等价于判断奇偶
            ans=(ans*base)%p;
        base=(base*base)%p;
        b>>=1;//将指数除以2
    }
    return ans;
}