BZOJ3670: [Noi2014]动物园

Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

HINT

n≤5,L≤1,000,000

题解Here!

这个题是学$KMP$算法的好题。。。

原因是题面直接给出了$next$数组的定义。。。

所以这个题跟$KMP$肯定脱不了干系。。。

先看到$num$的定义：不互相重叠的公共前后缀个数。

也就是说，$num$记录的是一个和值，而这个值可以用$next[i]$推出来。

我们考虑对于一个前缀$i$，$next[i],next[next[i]],next[next[next[i]]],cdots$都是$i$的公共前后缀。

而且只有它们是公共前后缀！

那么，我们其实只要在求$next$的过程中，顺便把这个公共前后缀的数量递推一下，就得到了一个弱化版的$num$数组：

可以重叠的公共前后缀数量。

然后问题就变成了：

如何去重？

首先，$next[i]<i$是肯定的。

也就是说，当一个$next[i]$递归了$n$层后，如果比前缀$i$的长度的一半小，那么这时候的$num[i]$就是我们要求的$num[i]$。

至于怎么求解$num[i]$的递归。。。

就和$next[i]$的递归求解一样。

最后只要递归到$k<(len_i>>1)$即可。

求$next[i],num[i]$的过程是可以直接合并成一个循环的。

最后统计答案即可。

不要忘了$long long$。

总复杂度$O(Tn)$。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1000010
#define MOD 1000000007LL
using namespace std;
int n;
int next[MAXN],num[MAXN];
long long ans;
char str[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void work(){
	num[1]=ans=1;
	for(int i=2,j=0,k=0;i<=n;i++){
		while(j&&str[i]!=str[j+1])j=next[j];
		if(str[i]==str[j+1])j++;
		next[i]=j;
		num[i]=num[j]+1;
		while(k&&str[i]!=str[k+1])k=next[k];
		if(str[i]==str[k+1])k++;
		while(k>(i>>1))k=next[k];
		ans=1LL*ans*(num[k]+1)%MOD;
	}
	printf("%lld
",ans);
}
int main(){
	int t=read();
	while(t--){
		scanf("%s",str+1);
		n=strlen(str+1);
		work();
	}
    return 0;
}