BZOJ2822: [AHOI2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。

由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。

小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。

如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？

（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种搭建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

Sample Output

HINT

1≤N≤500

题解Here!

卡特兰数+高精乘+gcd

为什么是卡特兰数？

玄学：

n=1 , ans=1 ; n=2 , ans=2 ; n=3 , ans=5 ;于是想到了卡特兰数。。。

正解：

我们发现对于任何大小为 i 的树屋阶梯，都可以由左上角放一块大小为 j 的以及右下角放一块大小为 ( i - j - 1 ) 的树屋阶梯，再在空缺的地方由单个大块的矩形填充即可构成，这个构成的树屋阶梯一共有 ( j ) + ( i - j - 1 ) 个钢材，正好是 i 个。

因为 j 可以在 0 到 i - 1 取且可以证明每一个构成的树屋阶梯一定各不相同，所以我们可以得到树屋阶梯方案与大小关系的递推式：

f[i]=f[i-1]*f[0]+f[i-2]*f[1]+...+f[0]*f[i-1];

同时，我们规定：

f[0]=f[1]=1;

哦，这不就是卡特兰数的递推式吗？于是我们就可以安心将这道题当作卡特兰数的模板题食用了。

公式：

cal(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/(n!×(n+1)!)=(n+2)(n+3)(n+4)...(2n)/(1×2×3×...×n)

将分子分母全部分别存入两个数组，一个一个求出 gcd，再化简，最后用高乘单求出结果，输出即可。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 510
using namespace std;
int n,a[MAXN],b[MAXN],ans[MAXN*10];
int gcd(int x,int y){
    if(!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
void mul(int x){
    int c=0;
    for(int i=1;i<=ans[0];i++){
        ans[i]*=x;ans[i]+=c;
        c=ans[i]/10;
        ans[i]%=10;
    }
    while(c){
        ans[++ans[0]]=c%10;
        c/=10;
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){a[i-1]=n+i;b[i-1]=i;}
    for(int i=1;i<n;i++)
    for(int j=1;j<n;j++){
        if(b[j]==1)continue;
        int g=gcd(a[i],b[j]);
        if(g!=1){a[i]/=g;b[j]/=g;}
        if(a[i]==1)break;
    }
    ans[0]=ans[1]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(a[i]==1)continue;
        mul(a[i]);
    }
    for(int i=ans[0];i>=1;i--)printf("%d",ans[i]);
	return 0;
}