普及C组第四题（8.9）

2298. 【noip普及组2T4】异或 
(File IO): input:gcdxor.in output:gcdxor.out

题目描述

SarvaTathagata是个神仙，一天他在研究数论时，书上有这么一个问题：求不超过n两两的数的gcd。
SarvaTathagata这么神仙的人当然觉得这个是sb题啦。学习之余，他还发现gcd的某一个特别好的性质：如果有两个数i,j满足gcd(i,j)=i^j(这里的^为c++中的异或)的话，那么这两个数组成的数对(i,j)就是一个nb的数对(这里认为(i,j)和(j,i)为相同的，并不需要计算2次)。
当然，SarvaTathagata并不会只满足于判断一个数对是否nb，他还想知道满足两个数都是不超过n并且nb的数对有多少个。
由于SarvaTathagata实在是太神仙了，他认为这种题实在是太简单了。于是他找到了你，看看你是否能解决这个问题。

 

输入

共一行一个整数n，含义如题所述。

输出

一行一个整数，表示nb的数对的个数。

 

样例输入

样例输入1
12
样例输入2
123456

样例输出

样例输出1
8
样例输出2
214394

 

数据范围限制

 

提示

样例1中共有八对，分别是： {1,3},{1,5},{1,7},{1,9},{2,6},{1,11},{2,10},{4,12}。

 

 伪思路：

直接判断，二话不说。

假的CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,ans=0;
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)
    return x;
    else
    gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(gcd(i,j)==(i^j))
            ans++;
        }
    }
    cout<<ans;
}

很可惜，第二个样例就已经卡的动不了，哈哈哈

(ノ=Д=)ノ┻━┻

真~思路（不严谨的思考）：

我们用原方案是不可以的，毫无疑问是这个数据太坑爹了！！！最郁闷的还是这个数据解释是假的，假的，假的！！！

经过一番痛苦的思考（快乐的偷窥）我们可以得出gcd（a，b）是一定小于等于abs（a-b）的。证明：易得证【滑稽】毫无疑问，我们知道a+b大于等于1；不妨设系数k，则有ak+bk大于等于k；将其转换可以得出gcd(a,b)<=abs(a-b)接下了我们确定abs(a-b)的上限，结合题意很容易猜出是i亦或j。证明：将两个东西转换成二进制。两者大多相同，但当0在上1在下时，相减会退位而亦或会想加。

真~CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,ans=0;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
        {
            if(j-i==(i^j))
            ans++;
        }
    }
    cout<<ans;
}

完结撒花！！！