（匹配 最小路径覆盖）Air Raid --hdu --1151

链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1151

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=82834#problem/J

/* **************************************************************************

//二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
//初始化：G[][]两边顶点的划分情况
//建立G[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
//G没有边相连则初始化为0
//uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
//调用：res=hungary();输出最大匹配数
//优点：适用于稠密图，Find找增广路，实现简洁易于理解
//时间复杂度:O(VE)
//顶点编号从0开始的

//************************************************************************** */

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 205
#define INF 0x3f3f3f3f

int n, m, un, vn, G[N][N], used[N], p[N];

int Find(int u)
{
    for(int i=0; i<vn; i++)
    {
        if(G[u][i] && !used[i])
        {
            used[i] = 1;
            if(p[i]==-1 || Find(p[i]))
            {
                p[i] = u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

void hungary()
{
    int ans = 0;
    memset(p, -1, sizeof(p));

    for(int i=0; i<un; i++)
    {
        memset(used, 0, sizeof(used));
        if(Find(i)) ans++;
    }

    printf("%d
", n-ans);
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int i, u, v;

        scanf("%d%d", &n, &m);

        memset(G, 0, sizeof(G));
        for(i=1; i<=m; i++)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            u--, v--;
            G[u][v] = 1;
        }
        un = vn = n;

        hungary();
    }
    return 0;
}

最小顶点覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的点集，使图中每一条边至少有一个点在该点集中。

　　最小顶点覆盖 == 最大匹配。

　　反证法证明：假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中，那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集，与最大匹配矛盾，所以得证。

 

最小路径覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的边集，使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。

　　最小路径覆盖 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为一条边最多可以包含两个顶点，所以我们选边的时候让这样的边尽量多，也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。

 

最大独立集：在N个点中选出来一个最大点集，使这个点集中的任意两点之间都没有边。

　　最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后，剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中，也是不会破坏原有独立集的独立性的。