几何建模与处理之五 Bezier曲线与B样条曲线
Bezier曲线
建模的两种形式:
- 重建(Reconstruction)
- 逆向工程:形状已有,要将其“猜”出来
- 采样->拟合:需要函数空间足够丰富(表达能力够)
- 代数观点:{a,b,c}作为基函数的组合权系数
- 设计(Design)
- 自由设计:凭空产生,或从一个简单的形状编辑得到
- 交互式编辑:几何直观性要好
- 几何观点:基函数{t2,t,1}作为控制点的组合权系数
二次多项式曲线(抛物线):
使用幂基表示曲线
使用Bernstein基函数表达
系数顶点与曲线关联性强,具有很好的几何意义,对于交互式曲线设计更直观.
Bernstein基函数
n次Bernstein基函数:(B=({B_0^{(n)}, B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}}))
性质:
-
对称性:(B_i^n(t)=B_{n-1}^n(1-t))
-
(B_i^{(n)})在(t=frac{i}{n})达到最大值
用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义
Bezier曲线
n次Berzier曲线:n+1个控制点
Berzier曲线的性质来源于Bernstein基函数的性质。
Bernstein基函数与Bezier曲线的性质
-
正权性:正性+权性
- (B_i^{(n)}(t) ge 0,tin [0,1])
- (sum_{i=1}^n B_i^{(n)}(t) = 1,tin [0,1])
-
基性:B是次数不高于n的多项式集合(空间)的一组基
-
递推公式:
- 基函数的递推公式:(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t) quad B_0^0(t)=1,B_i^{(n)}(t)=0quad forquad i otin{0...n})
- 高阶的基函数由两个低阶的基函数“升阶”得到,利于保持一些良好的性质
-
端点插值性:Bezier曲线经过首位两个控制顶点
-
导数:
- (f'(t)=nsum_{i=0}^{n-1}B_i^{n-1}(t)(p_{i+1}-p_i))
- (f^{[r]}(t)=frac{n!}{(n-r)!}sum_{i=0}^{n-r}B_i^{n-r}(t)· Delta ^rp_i)
Bezier曲线的端点性质
- 端点插值:
- 端点的切线方向与边相同
- 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关
-
升阶:((1-t)B_i^n(t)=(1-frac{i}{n+1})B_i^{n+1}(t)) => (tB_i^n(t)=frac{i+1}{n+1}B_i^{n+1}(t))
Bezier曲线升阶:$$f(t)=sum_{i=0}{n+1}B_i{n+1}(t)[frac {n+1-i}{n+1}P_i+frac{i}{n+1}P_{i-1}]$$
De casteljau algorithm
根据基函数的递推公式:(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t))
给定一个t,就能求出x(t):(b_i^{(r)}=(1-n)b_i^{r-1}+tb_{i+1}^{(r-1)})
几何样条曲线
两Bezier曲线的拼接条件:
C0:
G1:三点共线
C1:三点共线且等长
C2:(d^2/dt^2)为((p_2-2p_1+p_0),(p_n-2p_{n-1}+p_{n-2})),阴影三角形相似
构造3次插值Bezier曲线的几何方法
工程中,在点pi(0<i<n)处,作pi-1和pi+1连线的平行线,取1/6的位置作为控制点。一段曲线由四个点约束。
B样条
Bezier曲线(Bernstein基函数)存在全局性,不利于设计。
B样条曲线:分段Bezier曲线,具有局部性。
样条曲线的统一表达
基函数
均匀结点(Uniform)
非均匀结点((t_0<t_1<....<t_n<...t_{n+k}))
性质:
- (N_{i,k}(t)>0) for (t_i<t<t_{i+k})(局部性)
- (sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)=1) for (t_{k-1}le t le t_{n+1}) (权性)
- (N_{i,k}(t))在(t_j)处是Ck-2
B-spline curve
给定n+1个控制点,(d_0,...d_nin R^3),(T=(t_0,...t_{n+k}))称为向量节点。
每多出一个重结点(Multiple knots),曲线的光滑性降一阶。
例如,k=4,n=5的B-spline curve
k重时(0,...,0,1,...,1)为Bernstein基。