编译原理（清华大学出版社）-- 文法和语言 -- 文法和语言的形式定义

规则（重写规则、产生式或生成式）

• 形如 α→β 或 α::=β 的（α，β）有序对，其中α称为规则的左部，β称为规则的右部，这里的符号 →（::=）读作 "定义为"，例如A→a读作 “A定义为a”
• 文法 G定义为四元组（V_N，V_T，P，S）
• 其中V_N为非终结符集（语法实体 或 变量）；V_T终结符集；P为规则（α→β）的集合，α∈（V_N∪V_T）^* ，且至少包含一个非终结符，β∈（V_N∪V_T）^*，V_N，V_T和P都是非空有穷集
• S称为识别符或者开始符，它是一个非终结符，至少要在一条规则中作为左部出现
• V_N 和 V_T 不含公共的元素，即V_N ∩ V_T = Ø
  
• 通常用 V 表示 V_N ∪ V_T ，V称为文法G的字母表或词汇表

例2.1 有文法G=<V_N，V_T，P，S>，其中，V_N={S}，V_T={0，1}，P={S→0S1，S→01}，这里非终结符集中只含一个元素S，终结符号集由两个元素 0，1组成，有两条产生式，开始符是S

该例子也可以写成

G： S→0S1

　　S→01

或者

G[S]：S→0S1

           S→01

例2.2 有文法G=（V_N，V_T，P，S），其中 V_N = {标识符，字母，数字}，V_T = {a，b，c，...，x，y，z，0，1，...，9}

P = { <标识符>→<字母>

　　  <标识符>→<标识符><字母>

　　  <标识符>→<标识符><数字>

         <字母>→a

         <字母>→b

　　  ...

　　  <字母>→z

　　  <数字>→0

　　  <数字>→1

 　　 ...

　　  <数字>→9

}

S=<标识符>

为定义文法所产生的语言，还需要引入 推导 的概念，定义 V^* 中的符号之间的关系，直接推导=>，长度为n（n≥1）的推导  和长度为n（n≥0）的推导 

直接推导/直接归约的定义

• 设α→β是文法G=(V_N，V_T，P，S)的规则（或者是P中的一个产生式），γ 和 δ 是V^*中的任意符号
• 若有符号串 v、ω满足，v = γαδ，ω=γβδ，则说v（应用规则α→β）直接产生ω，或说ω是v的直接推导，或说ω直接归约到v，记作v=>ω

例如，对于例2.1的文法G，可以给出一些例子

1. v=0S1，ω=0011，直接推导：0S1=>0011，使用的规则：S→01，这里γ=0，δ=1
2. v=S，ω=0S1，直接推导：S=>0S1，使用的规则：S→0S1，这里γ=ε，δ=ε，ε类似于群里面的幺元
3. v=0S1，ω=00S11，直接推导：0S1=>00S11，使用的规则，S→0S1，这里γ=0，δ=1

对于例2.1的文法G，直接推导的例子如下

1. v=<标识符> ，ω=<标识符><字母>，直接推导：<标识符>=><标识符><字母>，使用的规则：<标识符>→<标识符><字母>，这里γ=δ=ε
2. v=<标识符><字母><数字>，ω=<字母><字母><数字>，直接推导：<标识符><字母><数字>=><字母><字母><数字>，使用的规则：<标识符>→<字母>，这里γ=ε，δ=<字母><数字>
3. v=abc<数字>，ω=abc5，直接推导：abc<数字>=>abc5，使用的规则：<数字>→5，这里γ=abc，δ=ε

序列中的推导定义

• 如果存在直接推导的序列：v=ω₀ => ω₁ => ω₂ => ... => ω_n = ω （n>0）则称v推导出（产生）ω（推导长度为n），或称ω归约到v，记作v ω
• 若有 v ω，或 v = ω，则记作 v ω 对例2.1的文法，存在直接推导序列 v=S1 => 00S11 => 000S11 => 00001111 = ω，即 0S1  00001111，也可记作 0S1 00001111
• 对例2.2的文法，存在直接推导序列 v = <标识符> => <标识符><数字> => <字母><数字> => x<数字> => x1 = ω，即 <标识符> x1

句型（推导出来的结果）和句子（仅由终结符号组成的句型）的定义

• 设G[S]是一个文法，如果符号串x是从识别符号推导出来的，即有 S  x，则称x是文法 G[S] 的句型
• 若x仅由终结符号组成， 即 S  x，x∈V^*_T ，则称x为G[S]的句子
• 例如，在例2.1中，S、0S1、000111都是例2.1的文法G的句型，其中000111是G的句子
• 在例2.2中，<标识符><字母>，<字母><数字>，a1都是例2.2文法G的句型，其中a1是G的句子

文法G产生的语言定义

• 文法G产生的语言定义为集合{x|Sx，其中S为文法识别符号，且x∈V^*_T}，可用L（G）表示该集合

文法描述的语言是该文法一切句子（仅由终结符号组成的句型）的集合

考虑例2.1的文法G，有两条产生式（规则）：S→0S1 和 S→01，通过对第一个产生式使用 n-1 次，然后使用第二个产生式一次，得到 S=>0S1=>00S11=>...=>0^n-1S1^n-1=>0ⁿ1ⁿ

L(G)={0ⁿ1ⁿ|n≥1}

例题2.3

设G=(V_N, V_T, P, S)，V_N = {S, B, E}, V_T = {a, b, e}，P由下列产生式组成

1. S→aSBE
2. S→aBE
3. EB→BE
4. aB→ab
5. bB→bb
6. bE→be
7. eE→ee

若L(G1) = L(G2)，则称文法G1和G2是等价的

例如文法 G[A]:

• A→0R
• A→01
• R→A1