公式
并集
$$left|igcup_{i=1}^nS_i ight|=sum_i|S_i|-sum_{i<j}|S_icap S_j|+sum_{i<j<k}|S_icap S_jcap S_k|-cdots+(-1)^{n-1}|S_1cap cdotscap S_n|$$
证明
对于元素$x$，假设它属于的集合为$T_1,T_2,ldots,T_m$，那么它对答案的贡献为：
$$|{T_i}|-|{T_icap T_j|i<j}|+|{T_icap T_jcap T_k|i<j<k}|-cdots+(-1)^{m-1}|{T_1cap T_2cap cdotscap T_m}|\=inom{m}{1}-inom{m}{2}+cdots+(-1)^{m-1}inom{m}{m}=1$$
于是每个元素都只被计算了一次，总和即为并集的大小
交集
$$left|igcap_{i=1}^nS_i ight|=|U|-left|igcup_{i=1}^noverline{S_i} ight|$$
其中$U$为全集，$overline{S}$为$S$对$U$的补集
计算时可对右边补集的并进行容斥
证明
若$xinigcupoverline{S_i}$，则$exists i,x otin S_i$，即$x$不存在与交集中，贡献为0，反之贡献为1
于是最后总和为交集的大小
例题
错排问题
求出满足以下条件的长度为$n$的排列$p$的个数：$forall i,p_i eq i$
解法
考虑容斥：
设$S_i$表示满足$p_i
eq i$的排列$p$的集合，那么题目要求的是$|igcap S_i|$
根据公式：
$$Ans=left|igcap_{i=1}^nS_i ight|=|U|-left|igcup_{i=1}^noverline{S_i} ight|\=|U|-sum_i|overline{S_i}|+sum_{i<j}|overline{S_i}capoverline{S_j}|-cdots-(-1)^{n-1}|overline{S_1}cap cdotscapoverline{S_n}|$$
注意到：
$$forall a_1<a_2<cdots<a_m,left|igcap_{i=1}^moverline{S_{a_i}} ight|=(n-m)!$$
于是：
$$Ans=sum_{m=0}^n(-1)^msum_{a_i<a_2<cdots<a_m}left|igcap_{i=1}^moverline{S_{a_i}} ight|=sum_{i=0}^n(-1)^iinom{n}{i}(n-i)!=n!sum_{i=0}^nfrac{(-1)^i}{i!}$$
那么就可以愉快的$O(n)$求了
方格染色问题：
有一个n行m列的方格，初始均为白色，可以选择一些格子染黑，问满足每行每列至少有一个黑格子的方案数
解法
和上题思路差不多，先求出至少有$i$行$j$列没有黑格子的方案数，为$2^{(n-i)(m-j)}$
根据容斥原理：
$$Ans=sum_{i=0}^nsum_{i=0}^m(-1)^{(i+j)}inom{n}{i}inom{m}{j}2^{(n-i)(m-j)}$$
效率$O(n^2)$
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