BZOJ 3243 Clever Y

Description

Little Y finds there is a very interesting formula in mathematics:

X^Y mod Z = K

Given X, Y, Z, we all know how to figure out K fast. However, given X, Z, K, could you figure out Y fast?

Input

Input data consists of no more than 20 test cases. For each test case, there would be only one line containing 3 integers X, Z, K (0 ≤ X, Z, K ≤ 10⁹). 
Input file ends with 3 zeros separated by spaces. 

Output

For each test case output one line. Write "No Solution" (without quotes) if you cannot find a feasible Y (0 ≤ Y < Z). Otherwise output the minimum Y you find.

Sample Input

5 58 33
2 4 3
0 0 0

Sample Output

9
No Solution

转载自：Navi

当模数 $c$ 不是质数的时候，显然不能直接使用 $BSGS$ 了，考虑它的扩展算法。

前提：同余性质。

令 $d = gcd(a, c)$ ， $A = a cdot d,B = b cdot d, C = c cdot d$

则 $a cdot d equiv b cdot d pmod{c cdot d}$

等价于 $a equiv b pmod{c}$

因此我们可以先消除因子。

对于现在的问题 $(A cdot d)^x equiv B cdot d pmod{C cdot d}$ 当我们提出 $d = gcd(a, c)$ （$d eq 1$）后，原式化为 $A cdot (A cdot d)^{x-1} equiv B pmod{C}$ 。

即求 $D cdot A^{x-cnt} equiv B pmod{C}$ ，令 $x = i cdot r-j+cnt$ 。之后的做法就和 $BSGS$ 一样了。

值得注意的是因为这样求出来的解 $x geq cnt$ 的，但有可能存在解 $x < cnt$ ，所以一开始需要特判。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
int MOD=250000;
lol hash[300001],id[300001];
lol gcd(lol a,lol b)
{
  if (!b) return a;
  return gcd(b,a%b);
}
void insert(lol x,lol d)
{
  lol pos=x%MOD;
  while (1)
    {
      if (hash[pos]==-1||hash[pos]==x)
    {
      hash[pos]=x;
      id[pos]=d;
      return;
    }
      pos++;
      if (pos>=MOD) pos-=MOD;
    }
}
bool count(lol x)
{
  lol pos=x%MOD;
  while (1)
    {
      if (hash[pos]==-1) return 0;
      if (hash[pos]==x) return 1;
      pos++;
      if (pos>=MOD) pos-=MOD;
    }
}
lol query(lol x)
{
  lol pos=x%MOD;
  while (1)
    {
      if (hash[pos]==x) return id[pos];
      pos++;
      if (pos>=MOD) pos-=MOD;
    }
}
lol qpow(lol x,lol y,lol Mod)
{
  lol res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=res*x%Mod;
      x=x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
lol exBSGS(lol a,lol b,lol Mod)
{lol i;
  if (b==1) return 0;
  memset(hash,-1,sizeof(hash));
  memset(id,0,sizeof(id));
  lol cnt=0,d=1,t;
  while ((t=gcd(a,Mod))!=1)
    {
      if (b%t) return -1;
      cnt++;
      b/=t;Mod/=t;
      d=d*(a/t)%Mod;
      if (d==b) return cnt;
    }
    lol tim=ceil(sqrt((double)Mod));
      lol tmp=b%Mod;
  for (i=0;i<=tim;i++)
    {
      insert(tmp,i);
      tmp=tmp*a%Mod;
    }
  t=tmp=qpow(a,tim,Mod);
  tmp=tmp*d%Mod;
  for (i=1;i<=tim;i++)
    {
      if (count(tmp))
    return i*tim-query(tmp)+cnt;
      tmp=tmp*t%Mod;
    }
  return -1;
}
int main()
{lol p,a,b,ans;
  while (scanf("%lld%lld%lld",&a,&p,&b))
    {
      if (p==0) return 0;
      if ((ans=exBSGS(a,b,p))==-1) printf("No Solution
");
      else printf("%lld
",ans);
    }
}