[HZOI 2015]疯狂的机器人

【题目描述】

现在在二维平面内原点上有一只机器人

他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格）

但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者纵坐标是负数的点上

否则他就会big bang

给定操作次数n，求有多少种不同的操作序列使得机器人在操作后会回到原点

输出答案模998244353后的结果

注意如果两个操作序列存在某一时刻操作不同，则我们认为这两个操作序列不同

【输入格式】

输入n，表示操作次数

n<=100000

【输出格式】

按要求输出答案

【样例输入】

3

【样例输出】

7

【提示】

样例解释：

机器人有7种操作序列

1、不走 不走 不走

2、不走 向右 向左

3、向右 不走 向左

4、向右 向左 不走

5、不走 向上 向下

6、向上 不走 向下

7、向上 向下 不走

将操作分3类：向上下，向左右，不动
$f[i]$表示只考虑前两类走i步到原点的方案数
$$f[n]=sum_{i=0}^{n}a[i]*a[n-i]*inom{n}{i}$$
$a[i]$表示向上向下(或向左向右)走i步回到原点的方案数
显然i为偶数时才有方案否则$a[i]$为0
然后不动就直接枚举f
$$ans=sum_{i=0}^{n}f[i]*inom{n}{i}$$
$a[i]$显然就是卡特兰数第$i/2$项
因为任意时刻向上的前缀和总是大于向下的
至于卷积就直接把组合数拆开，把分母分到a上，即：
$$a[i]=C[i/2]*i!^{-1}$$
NTT求出f后再乘上$n!$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef int lol;
const int N=100000;
int Mod=998244353;
int G=3;
int a[8*N],fac[5*N],R[8*N],ifac[5*N],inv[5*N],c[5*N],f[8*N],ans;
int qpow(int x,int y)
{
  int res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void NTT(int *A,int len,int o)
{int wn,w,i,j,k,x,y;
  for (i=0;i<len;i++)
    if (i<R[i]) swap(A[i],A[R[i]]);
  for (i=1;i<len;i<<=1)
    {
      wn=qpow(G,(Mod-1)/(i<<1));
      if (o==-1) wn=qpow(wn,Mod-2);
      for (j=0;j<len;j+=(i<<1))
    {
      w=1;
      for (k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
        {
          x=A[j+k];y=1ll*w*A[j+k+i]%Mod;
          A[j+k]=x+y;
          if (A[j+k]>=Mod) A[j+k]-=Mod;
          A[j+k+i]=x-y;
          if (A[j+k+i]<0) A[j+k+i]+=Mod;
        }
    }
    }
  if (o==-1)
    {
      int tmp=qpow(len,Mod-2);
      for (i=0;i<len;i++)
    A[i]=1ll*A[i]*tmp%Mod;
    }
}
int main()
{
  int i,len,lg,n;
  scanf("%d",&n);
  memset(a,0,sizeof(a));
  fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[1]=1;
  for (i=2;i<=n*2;i++)
    {
      inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
      fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
      ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%Mod;
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    c[i]=1ll*fac[i<<1]*ifac[i]%Mod*ifac[i]%Mod*inv[i+1]%Mod;
  a[0]=1;
  for (i=2;i<=n;i++)
    if ((i&1)==0)
      a[i]=1ll*c[i>>1]*ifac[i]%Mod;
  len=1;
  while (len<=2*n) len*=2,lg++;
  for (i=0;i<len;i++)
    R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
  NTT(a,len,1);
  for (i=0;i<len;i++)
    a[i]=1ll*a[i]*a[i]%Mod;
  NTT(a,len,-1);
  for (i=0;i<=n;i++)
    f[i]=1ll*a[i]*fac[i]%Mod;
  for (i=0;i<=n;i++)
    ans=1ll*(ans+1ll*f[i]*fac[n]%Mod*ifac[i]%Mod*ifac[n-i]%Mod)%Mod;
  printf("%d
",ans);
  return 0;
}