[HNOI2013]数列

题目描述

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

输入输出格式

输入格式：

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面”输出格式“中对P的解释。输入保证20%的数据M,N,K,P<=20000，保证100%的数据M,K,P<=109，N<=1018 。

输出格式：

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

输入输出样例

输入样例#1： 复制

7  3 2 997

输出样例#1： 复制

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

首先差分价格，得到k-1项数组a[1],a[2],....a[k-1],范围都是[0,M](因为(k-1)*M<N)

设S为a的所有方案，显然|S|=M^K-1，对于一个确定的S，它的方案数为第一天可行值

为

$$sum_{i = 1}^{k-1}a[i]$$

于是有

$$sum_S N - sum_{i = 1}^{k-1}a[i]$$
$$N*M^{k-1}-sum_Ssum_{i = 1}^{k-1}a[i]$$

因为每个a[i]是独立的，确定一个a[i],产生M^K-2种方案，权值有(1+2....+M)所以有
$$=N*M^{k-1}-sum_{i = 1}^{k-1}sum_Sa[i]$$
$$=N*M^{k-2}-(k-1)*M^{k-2}*(1+2+...+M)$$
$$=N*M^{k-2}-(k-1)*M^{k-2}*{{M*(M+1)}over 2}$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol N,K,M,P,ans1,ans2,ans;
lol qpow(lol x,lol y)
{
  lol res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=(res*x)%P;
      x=(x*x)%P;
      y/=2;
    }
  return res;
}
int main()
{
  cin>>N>>K>>M>>P;
  N%=P;
  ans1=(qpow(M,K-1)*N)%P;
  ans2=(qpow(M,K-2)*((M*(M+1)/2)%P))%P;
  ans2=((K-1)*ans2)%P;
  ans=(ans1-ans2+P)%P;
  cout<<ans;
}