[BZOJ 4403]序列统计

Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对10^6+3取模的结果。

Input

输入第一行包含一个整数T，表示数据组数。

第2到第T+1行每行包含三个整数N、L和R，N、L和R的意义如题所述。

1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，输入数据保证L≤R。

Output

输出包含T行，每行有一个数字，表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果。

Sample Input

2
1 4 5
2 4 5

Sample Output

2
5
//【样例说明】满足条件的2个序列为[4]和[5]。

因为可以相等，所以计数会不好处理

还记得上一篇的计数技巧吗？上一篇为了方便分析答案，将所有数-i

同样，这道题要求最长不下降，那么+i,转为最长上升子序列

范围就变成[L+1,R+i]，i为序列长度

显然方案数是C(i,i+R-L)=C(R-L,i+R-L)

ans=∑C(k,i+k)            k=R-L

但是n很大，O(n)都不能处理

但有C(k,n)+C(k+1,n)=C(k+1,n+1)

ans=C(k,1+k)+C(k,2+k).......C(k,n+k)

=C(1+k,1+k)-1+C(k,1+k)+C(k,2+k)......C(k,n+k)

=C(1+k,2+k)-1+C(k,2+k)......C(k,n+k)

=C(1+k,3+k)-1.........

=C(1+k,n+k+1)-1

由于n,k很大，所以用Lucas定理：C(m,n)=C(m%p,n%p)*C(m/p,n/p)

为了加速lucas，所以用了阶乘逆元(代码中的A)，即A[i]=1/(i!)

B代表阶乘

C(x,y)=B[y]*A[x]*A[y-x]%Mod

逆元用线性模逆元公式

复杂度O(Mod+logn)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int Mod=1000003;
long long B[1000005],A[1000005];
long long ans;
int n,l,r;
long long Lucas(int x,int y)
{
  if (x==0) return 1;
  int xx=x%Mod,yy=y%Mod;
  if (xx>yy) return 0;
  long long S=((B[yy]*A[xx])%Mod)*A[yy-xx]%Mod;
return (S*Lucas(x/Mod,y/Mod))%Mod;
}
int main()
{int T,i;
  cin>>T;
  A[1]=1;A[0]=1;B[0]=1;
  for (i=2;i<=1000003;i++)
    A[i]=((Mod-Mod/i)*A[Mod%i])%Mod;
  for (i=1;i<=1000003;i++)
    {
      A[i]=(A[i]*A[i-1])%Mod;
      B[i]=(B[i-1]*i)%Mod;
    }
  while (T--)
    {
      cin>>n>>l>>r;
      ans=Lucas(r-l+1,r-l+n+1);
      cout<<(ans-1+Mod)%Mod<<endl;
    }
}