[HNOI2008]GT考试

题目描述

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

输入输出格式

输入格式：

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

输出格式：

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

输入输出样例

输入样例#1：

4 3 100
111

输出样例#1：

81
设f[i][j]表示：准考证号前i位中 后j位与不吉利数的前j位相同时的方案数 
那么答案ans=f[n][0]+f[n][1]+…+f[n][m-1]
为避免重复，f[i][j]表示的每种方案都不含长度大于j且与不吉利数的前缀相同的后缀 
否则就会出现：
从1到m标号，不吉利数为123124时，f[i][2]计数的方案包含f[i][5]计数的方案的情况 
转移：f[i][j]=∑f[i-1][k]*a[k][j]   

a[k][j]为字符串中前缀1~k变成前缀1~j的方案数
a数组用kmp预处理，在求出next后，对于每一个前缀1~i,在后面加入'0'~'9',进行匹配
对于匹配的结果j,则a[i][j]++,匹配失败则f[i][0]++

算法变成了O(n)还不够

我们发现转移方程可以写成矩阵

这样就可以用矩阵快速幂

复杂度O(logn*m^3)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int Mod;
int n,m,nxt[51];
int ans;
char s[51];
struct Matrix
{
    int num[51][51];
    Matrix init()
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
    }
    Matrix operator*(const Matrix &x)
    {
        Matrix c;
        c.init();
        int i,j,k;
        for (i=0;i<m;i++)
        {
            for (j=0;j<m;j++)
            {
                for (k=0;k<m;k++)
                {
                    c.num[i][j]+=(num[i][k]*x.num[k][j])%Mod;
                    c.num[i][j]%=Mod;
                }
            }
        }
        return c;
    }
}a[51][51],S,T;
void KMP()
{int i,j,k;
    j=0;
    nxt[1]=0;
    for (i=2;i<=m;i++)
     {
        while (j&&s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nxt[i]=j;
     }
     j=0;
     for (i=0;i<m;i++)
     {
        for (k=0;k<=9;k++)
        {
            j=i;
             while (j&&s[j+1]!=(char)(k+'0')) j=nxt[j];
             if (s[j+1]==k+'0') T.num[i][j+1]++;
               else T.num[i][0]++; 
        }
     }
}
void qpow()
{int i,j;
    for (i=0;i<m;i++)
     S.num[i][i]=1;
      while (n)
      {
            if (n&1)
            {
                S=S*T;
            }
        T=T*T;
        n>>=1;
      }
}
int main()
{int k,i,j;
char ch;
    cin>>n>>m>>k;
    Mod=k;
    scanf("%s",s+1);
      KMP();
       qpow();
    for (i=0;i<m;i++)
     ans=(ans+S.num[0][i])%Mod;
    cout<<ans;
}