搜索学习笔记

DFS与BFS

oi-wiki上的 BFS 和 DFS

搜索的两种实现形式分别是\(bfs\)和\(dfs\).

\(DFS\):会一直沿着某一分支不断向下，直至边界才返回，所以DFS适用于深度较深，分支较少的搜索树

\(BFS\):会一层一层的遍历搜索树，所以BFS适用于深度较浅，分支较多的搜索树。

注意事项

1. 在搜索的时候我们应该不重不漏的遍历每个从状态，
2. 如果搜索的状态构成一张图，那我们需要用数组\(vis\)记录状态的遍历情况
3. 弄清楚 层次 和 分支，减小搜索树的规模。
4. 减小搜索时的常数(比如利用位运算)，将代码模块化。

搜索的优化

剪枝

剪枝，顾名思义，就是“剪去”搜索树上的“枝条”
即我们在搜索的时候发现某条分支已不可行了，那么就可以直接回溯了，以此来减少搜索树的规模。
主要有以下五种常见的剪枝方法：

1. 优化搜索顺序

   即我们可以将搜索的对象进行排序来产生不同规模的搜索树

2. 排除等效冗余

   当搜索树是变成一张DAG时，很显然一个状态节点可能被访问多次，这时我们只搜索一次即可

3. 可行性剪枝

   当前状态无法到达递归边界，直接返回

4. 最优性剪枝

   发现当前代价已经劣于答案，再优的策略都无法更新答案，直接返回

5. 记忆化

   记录状态的答案

迭代加深

上文提到过，BFS适用于深度较浅，分支较多的搜索树。
因为使用dfs时我们可能会在深层子树上浪费很多时间。
这时如果使用dfs，就要用到迭代加深了。
它的大致实现方法如下：每次限定搜索的深度，使得每次只扩展固定的深度，直到找到答案为止。
其实迭代加深可以近似于bfs，但代码实现却要简单的很多。

折半搜索

将搜索对象分成两半，分别搜索。
再将两组的答案合并。
搜索复杂度一般是指数级的，这样做的话，复杂度能开个根号。

以上为DFS的一些变形和优化

双端队列\(BFS\)

\(dijkstra\)解决单源最短路的时间复杂度是\(O((m+n)log n)\)
但当边权只有\(01\)两种取值时，我们用双端队列bfs可以做到\(O(n+m)\)。
流程简述：对于边权是\(0\)的边，从队头入队；对于边权是\(1\)的边，从队尾入队。
这样就保障了队列的两段性(节点只属于两个层次)和单调性(层次在前的节点先出队)。

优先队列\(BFS\)

类似于\(dijkstra\)，取出当前代价最小的进行扩展。
因为该状态一定最优，所以它无法在被其他状态更新，所以元素第一次被取出就是最优答案了。

双向\(BFS\)

假如目标状态给定，那么我们从起点和终点分别进行BFS，直到有状态重合，
此时类似于折半搜索，直接合并答案即可。

接下来是估价函数在搜索中的应用

\(A\)*

A*本质上是对优先队列BFS的进一步优化。
我们将堆中的比较的键值“当前代价”改成“当前代价+未来估价”
而这个未来估价不能大于未来实际代价
所以我们便可以设计一个估价函数来计算未来估价。
这个函数必须满足三角形不等式，此时就不会将节点重复加入优先队列。

\(IDA\)*

简单说就是迭代加深+A*，
即当前代价+估价>深度限制，返回。

\(Dancing~Links\)

还没学，鸽了。

习题

大概每个内容刷几道就够了

参考资料

oi-wiki

李煜东《算法竞赛进阶指南》搜索篇