FHQ

FHQ

FHQ是一种非旋Treap。没有了复杂的左/右旋操作所以十分适合菜鸡。

其保证复杂度的方法和Treap一样：给每一节点一个随机权记为(rad[i])，然后使平衡树满足是关于(rad[i])的堆。构建二差搜索树时，树的形态唯一而且期望深度为((logn))

*复杂度小证明：

这个思路来自于[一篇博客](关于非旋FHQ Treap的复杂度证明 - 谁是鸽王 - 博客园 (cnblogs.com))

（默认是大根堆）

将节点编号((i))按题中数据(记为(val[i]))从小到大排序得到序列(A)

将节点编号按(rad[i])从小到大排序得到序列(B)

发现(A)、(B)有如下性质：1、A就是这棵树的中序遍历。2、B的最后一个数是所有其他的祖宗（根）。

那么这棵树的形态如何确定？显然这是一道普及的题。

(B)中取最后一个数(root)，然后在(A)中找到(root)。显然(root)左边是其左子树右边是其右子树。从(B)中挑出左右子树然后递归即可。

显然递归深度就是平衡树深度。

考虑这个过程的本质。对于(B)来说就是找到最后一个数(root)，然后把(val[i])小于(val[root])的放在一边，大于的放在另一边，然后递归。

这不就是快速排序吗？只是参考点为最后一个罢了。由于(rad[i])是随机值所以B序列是随机的。好的，快排对于随机数据的期望复杂度是(O(nlogn))(递归期望深度为(logn))，所以由此法构建的平衡树期望深度为(logn)。仔细思考构建过程发现平衡树的形态也是唯一的。

代码

FHQ是怎么维护的呢？

FHQ的维护基于两个操作：merge、split。merge负责把两棵树合并。split负责把一棵树裂开，裂成一边小于（小于等于）a，一边大于等于（大于）a。

#includ<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
#define N 101001
int tot,size[N],ch[N][2],rad[N],val[N],root;
int new_node(int x){
	int now=++tot;
	rad[now]=rand();
	val[now]=x;
	size[now]=1;
	return now;
}
void update(int now){
	size[now]=size[ch[now][1]]+size[ch[now][0]]+1;
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	if(rad[x]>rad[y]){
		ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);
		update(x);
		return x;
	}
	else {
		ch[y][0]=merge(x,ch[y][0]);
		update(y);
		return y;
	}
}
void split(int &x,int &y,int now,int w){
	if(!now){
		x=y=0;
		return;
	}
	if(val[now]<=w){
		x=now;
		split(ch[x][1],y,ch[now][1],w);
	}
	else{
		y=now;
		split(x,ch[y][0],ch[now][0],w);
	}
	update(now);
}
int kth(int now,int k){
	int l=ch[now][0];
	if(size[l]>=k)return kth(l,k);
	else if(size[l]+1==k)return now;
	else return kth(ch[now][1],k-size[l]-1);
}
int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return sum*f;
}
int main(){
	srand(time(NULL));
	int T=read();
	while(T--){
		int type=read();
		int a=read();int x,y,z;
		if(type==1){
			split(x,y,root,a);
			root=merge(merge(x,new_node(a)),y);
		}
		if(type==2){
			split(x,z,root,a);
			split(x,y,x,a-1);
			y=merge(ch[y][0],ch[y][1]);
			root=merge(merge(x,y),z);
		}
		if(type==3){
			split(x,y,root,a-1);
			printf("%d
",size[x]+1);
			root=merge(x,y);
		}
		if(type==4)printf("%d
",val[kth(root,a)]);
		if(type==5){
			split(x,y,root,a-1);
			printf("%d
",val[kth(x,size[x])]);
			root=merge(x,y);
		}
		if(type==6){
			split(x,y,root,a);
			printf("%d
",val[kth(y,1)]);
			root=merge(x,y);
		}
	}
	return 0;
} 

普通treap也提一下

插入操作：按普通的二叉搜索树来插，然后回溯时看到不符合堆的性质就把大的旋上来。

删除操作：找到待删点然后把它旋到叶子，然后删除就好了。