浅谈KMP算法

不想写题。不如写写算法总结？

KMP

前（che）言（dan）

以前都不知道 (KMP) 为什么叫 (KMP) ，现在才明白：该算法是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的，以其名字首字母命名。
(KMP) 可以在(O(n+m))的时间复杂度内解决判定一个字符串(A[1)~ (N])是否为字符串(B[1)~(M])的字串的问题。
虽然Hash好像也可以线性解决这个问题

我会暴力

当然一个 (O(nm)) 的做法是非常显然的：直接枚举A串在B串的开始位置然后往后一位一位的比较。
考虑这样的做法有什么可以优化的地方？
考虑如下场景，某次匹配中按 (O(nm)) 的方法进行到这一步。
图中下方是串 (A) ,上方是串 (B) ，我们已经匹配到最后一个字符，匹配就快成功，但不幸的是最后一位出错了，我们又要从头匹配。
但是

我们发现绿框框住的部分匹配，但我们之后还要重新匹配浪费了时间。我们能不能记录一些信息，然后下次直接从绿框后面的位置开始匹配，这样不就节约了时间。
还有，能不能选出一些可能完成匹配的位置进行匹配，这样就不用从每一个位置匹配整个串，也节约了时间。
(KMP) 算法就这样诞生了

算法流程

KMP算法定义了一个next数组。
其中 (next[i]) 表示A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀能匹配的最长长度。
那么这个东西有什么用啊?感觉好玄妙，为什么非要是非前缀？
别急我们先来说说(next)数组的求法。
我会 (O(n^2)) 的求法。。。
其实可以 (O(n)) 求。

假设我们已经求出了next 1~next i，图中绿框框起来的就是能匹配的最长的A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀。
我们现在要求 (next[i+1])。

(这里的j就相当于 (next[i]) )
显然当两个红圈圈起的位置上的字符相等，那么 (next[i+1]=j+1)
那么不相等怎么办？
重新匹配吗，那不就 (O(n^2)) 了吗？
我不会了妈妈救我

我们先设出 (next[j]) 的位置。显然两个蓝框框起的串匹配

因为绿框框起的串匹配，是不是四块蓝框框起的串互相匹配。

四块都互相匹配了显然这两块是匹配的。
咦，等等，好像有点眼熟！
这跟开始的一张图片很像。
也许你已经猜到接下来该做什么了。
我们看看 (next[j]+1) 和 (i+1) 位置上的字符是否相等。如果相等 (next[i+1]=next[j]+1) ，如果还不相等我们把 (next[j]) 看成 (j) ，继续取 (next[j]) 。。。。。。（一直这样跳(next)跳下去）
知道最后找到一个 (j) ，使得 (j+1) 位置上的字符跟 (i+1) 位置上的字符相等。或找不到字符跟 (i+1) 位置上的字符相等 (next[i+1]) 就是 (0)。

正确性

这样的正确性有保证吗？
我们想一直跳 (next) 实际上就是在遍历（所有能匹配的A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀的长度）（名词太长用括号括起来）。因为 (next) 记录的是最长长度，所以可以不重不漏遍历所有情况（一直取小于这个数中最大的就可以遍历所有情况）。

或者这样想

如果漏掉了紫色框的情况。即假设紫色框框起的部分是(长度比绿框小的且是最长的能匹配的最长的A中以j结尾的非前缀子串和A的前缀)

那么因为绿框框起的串匹配，四个紫框框起的串互相匹配。
然后 (next[j]) 就不在图中所在位置了，也就是说与 (next[j]) 代表A中以j结尾的非前缀子串和A的前缀能匹配的最长长度矛盾。
所以用上面说的方法正确性是对的。

复杂度

那这样感觉复杂度又成 (O(n^2)) 的了
其实是 (O(n)) 的，我们来分析一波
这是求 (next) 数组的代码

for(int i=2,j=0;i<=len;i++){
    while(j&&A[j+1]!=A[i])j=nxt[j];
    if(A[j+1]==A[i])j++;
    nxt[i]=j;
}

每次求 (next[i]) 时我们程序里的记录 (next[i]) 的变量 (j) 最多+1，一共最多加 (n) 次。然后每次跳 (next) ，j只会减小。
所以最多跳 (n) 次 (next) 。复杂度(O(n))。
至此我们终于把如何求 (next) 数组讲完了。

其实后面的就简单了。
我们回到最初的起点。。
我们依然是按位匹配两个串。当不匹配的时候。我们把 (i) 改成 (next[i]) 继续匹配就好。
就像这样。

板子题

P3375 【模板】KMP字符串匹配

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010000;
char s1[N],s2[N];
int len1,len2,nxt[N];
int main(){
	scanf("%s",s1+1);
	scanf("%s",s2+1);
	len1=strlen(s1+1);
	len2=strlen(s2+1);
	for(int i=2,j=0;i<=len2;i++){
		while(j&&s2[j+1]!=s2[i])j=nxt[j];
		if(s2[j+1]==s2[i])j++;
		nxt[i]=j;
	}
	for(int i=1,j=0;i<=len1;i++){
		while((j&&s2[j+1]!=s1[i])||j==len2)j=nxt[j];
		if(s2[j+1]==s1[i])j++;
		if(j==len2)printf("%d
",i-j+1);
	}
	for(int i=1;i<=len2;i++)printf("%d ",nxt[i]);
	return 0;
}

扩展

(KMP) 除了单模式串匹配之外还有什么用处呢？
它还可以求循环节。
有一个结论是如果((len)%((len-next[len])==0))那么最小循环节长度为(len-next[len])
那么最小的循环节出现次数就是(len/(len-next[len]))
为什么呢？
为了方便解释，把字符串复制成两个。两个绿框分别代表能匹配的最长的A的非前缀后缀和A的前缀。两个绿框框起的串根据(next)数组的定义相等。
因为两个一样的串，图中红圈圈起的串显然相等。
然后因为两个绿框框起的串匹配，三个红圈圈起的串显然匹配。
又因为两个串是一样的，所以这四个红圈圈起的串互相匹配。
进而得出这些红圈代表的串都相等。
发现红圈圈起的串是循环节，因为(next)数组代表的是最大值，所以这个循环节是最小的。
所以如果((len)%((len-next[len])==0))那么最小循环节长度为(len-next[len])
那么最小的循环节出现次数就是(len/(len-next[len]))
注意必须要满足((len)%((len-next[len])==0))
KMP求最小循环节的题POJ 2406 Power Strings
本文只是讲解算法，真正掌握它还需要多刷题。
完结撒花