1、问题描述
给定两个数组A与B，其大小分别为m、n，假定它们都是已按照增序排序的数组，我们用尽可能快的方法去求两个数组合并后第k大的元素，其中，1le kle(m+n)。例如，对于数组A=[1,3,5,7,9]，B=[2,4,6,8]。我们记第k大的数为max_{k-th}，则k=4时，max_{4-th}=4。这是因为排序之后的数组A+B=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]，第4大的数是4。我们针对这一个问题进行探讨。
2、算法一
第一眼看到这个题的时候，我们能够很快地想出来最基本的一种解法：对数组A和B进行合并，然后求出其第k大的数，即找到答案。合并的过程，我们可以参考归并排序的合并子数组的过程，时间复杂度为O(m+n)。下面给出算法：
int findKthMaxNumOfArrays(int *a,int m,int *b,int n,int k) { int *p=a; int *q=b; int i=0; int j=0; int cur=0; while(i<m&&j<n) { if(a[i]<b[j]) { cur++; if(cur==k) return a[i]; i++; } else { cur++; if(cur==k) return b[j]; j++; } } while(i<m) { cur++; if(cur==k) return a[i]; i++; } while(j<n) { cur++; if(cur==k) return b[j]; j++; } }
3、算法二
实际上算法一的时间复杂度已经是线性的了。可是，是否存在更快的算法能够完成这项任务呢？答案是肯定的，时间复杂度可以缩短到O(log(m+n))时间内。在这种算法中，二分的思想十分重要。我们将数组A分为两半，前一部分的大小为left lfloor frac{m}{2} ight floor，后一部分为m- left lfloor frac{m}{2} ight floor；数组B同时分为这样两部分，第一部分的大小为left lfloor frac{n}{2} ight floor，第二部分的大小为n- left lfloor frac{n}{2} ight floor。如下图所示：
通过a_{frac{m}{2}}与b_{frac{n}{2}}，我们将每个数组分为2部分，分别记为A1、A2和B1、B2。假定b_{frac{n}{2}} ge a_{frac{m}{2}}，如果不是，我们只需要交换A、B两个数组即可。接下来，我们看第k大的数落在了哪个区间里面，令t=a_{frac{m}{2}}+b_{frac{n}{2}}+1，这个t实际上是包含了A1，a_{frac{m}{2}}，B1。如果kle t时，则说明max_{k-th}肯定不在B2里面，这是由于：B2中的所有数ge b_{frac{n}{2}}，而b_{frac{n}{2}} ge A1,B1中的所有数与a_{frac{m}{2}}，而这部分数总共有t个，说明b_{frac{n}{2}}起码是第t+1个，若max_{k-th}出现在B2中，则说明kge t+1，与假设矛盾。我们可以得出该结论。因此，在判断之后，我们可以剔除数组B的B2部分，然后再在新数组中寻找；另外，如果kge t，则说明max_{k-th}肯定不在A1部分，这部分的证明同上一个证明相同，不再赘述。同样地，在判断之后，我们可以剔除数组A的A1部分，然后再在新数组中寻找。基于这样一种思想，我们每次迭代，都删除了其中一个数组中一半的元素，时间复杂度大约可认为是O(log(m+n))。
在实现的时候，我们需要特别注意边界条件，详细的代码如下：
int findKthMaxNumOfArrays(int *A, int m, int *B, int n, int k) { if(m == 0)return B[k-1]; if(n == 0)return A[k-1]; int i = m>>1, j = n>>1, *p, *q, t; if(A[i] <= B[j])p = A, q = B; else p = B, q = A, swap(i, j), swap(m, n); t = i + j + 1; if(t >= k)return findKthMaxNumOfArrays(p, m, q, j, k); else if(t < k)return findKthMaxNumOfArrays(p+i+1, m-i-1, q, n, k-i-1); }
4、扩展问题
通过算法二，我们很容易地解决一个类似的问题：求两个已序数组A,B的中位数。所谓的中位数，对于一个有n个元素的已序数组，如果n是奇数，则中位数是第frac{n+1}{2}个元素的值；如果n是偶数，则它的中位数是第frac{n}{2}与第frac{n}{2}+1数的平均值。对于m+n为奇数，则利用算法二求第frac{n+m+1}{2}个元素的值即可，对于m+n为偶数，利用算法二求第frac{m+n}{2}个与第frac{m+n}{2}+1个元素的值，求其平均值即可。
对于这个问题，在LeetCode中有另外一种解法，但是阅读后发现其需要处理的个别case太多，相比而言没有本文所介绍的算法简洁。如果想要了解，给出链接：http://leetcode.com/2011/03/median-of-two-sorted-arrays.html。