最近和同学讨论了一下关于延拓定理的一系列事情，个人认为这属于数学分析的盲点，为了补足这一缺憾，在这里作一点笔记。熟知如下定理
引理(Urysohn, 一般版本). 对于正规空间(=T2+T4)$X$, 令$A,B$是$X$的两个分离的闭集, 则他们可以被连续函数分离, 具体来说, 存在连续函数$f:X o [0,1]$使得$$f(A)=0qquad f(B)=1$$
证明. 取任意一个在$[0,1]$上稠密的可数集${a_i}_{i=0}^infty$(例如$mathbb{Q}cap [0,1]$), 不妨假设$a_0=0, a_1=1$. 下面拟构造一系列开集(除了$U_0$)${U_i}_{i=0}^infty$, 使得$$a_i<a_jiff overline{U_i}subseteq U_j$$具体来说, 令$U_0=A, U_1=B^c$, 假设$i<n$已经构造好, 假设$a_i<a_n<a_j$. 此时根据条件, $overline{U_i}subseteq U_j$, 即$overline{U_i}$与$U_j^c$不交, 故存在开集$U_n$使得$$overline{U_i}subseteq U_nsubseteq overline{U_n}subseteq U_j$$这样, 登高面已经决定好, 下面我们说明其决定了函数. 定义$$f: Xlongrightarrow [0,1]qquad xlongmapsto inf{a_i: xin U_i}$$下面说明其连续,
- $f(x)<r$当且仅当对$xin igcup_{a_i<r} U_i$是开集.
- 因为$a_i$稠密, $U_i$嵌套的性质, $f(x)>s$当且仅当存在$s<a_i$满足$x otin U_i$, 再利用稠密性知道这还当且仅当存在$s<a_j<a_i$使得$x otin overline{U_j}$, 这当且仅当$xin igcup_{s<a_j} (overline{U_j})^c$还是开集.
这说明$f$连续. 不难看出$f(A)=0, f(B)=1$. $square$
相比之下，度量空间的Urysohn引理更加容易，且结论更强
引理(Urysohn, 度量空间). 对于度量空间$X$, 令$A,B$是$X$的两个分离的闭集, 则他们可以被连续函数分离, 具体来说, 存在连续函数$f:X o [0,1]$使得$$f^{-1}(0)=Aqquad f^{-1}(1)=B$$
证明. 作$g(x)=frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$, 注意, 因为$A$是闭集, 故$d(x,A)=0iff xin A$, 故分母不为零, 该函数确实被定义, 再根据二者都非负不难得到$g(X)subseteq [0,1]$. 不难得到此时$g(x)=1$当且仅当$xin B$, $g(x)=0$当且仅当$xin A$, 此时再调整一个线性函数即可. $square$
作为类比，局部紧致下的Urysohn引理或许更为有用，这里局部紧已经暗含了Hausdorff性。
引理(Urysohn, 局部紧空间). 对于局部紧空间$X$, 令$A,B$是$X$的两个分离的闭集, 且其中之一紧致, 则他们可以被连续函数分离, 具体来说, 存在连续函数$f:X o [0,1]$使得$$f(A)=0qquad f(B)=1$$
证明. 不妨假设$A$是紧致的, $B^c$是$A$的邻域, 根据局部紧的假设, 存在开集$V$使得$Asubseteq V$且$overline{V}$是紧致的. 由于对于Hausdorff紧致空间一定是正规的, 这样可以对$A$和$partial V$用Urysohn引理, 有$f(A)=0, f(partial V)=1$, 只需要延拓$f$使得在$V$外$f$取值为$1$就是满足条件的连续函数. $square$
一个自然的问题是上面的连续能否改为可微？这需要$X$具有微分结构，这里不妨假设是欧式空间。如下的定理已经足够使用了，这个定理使用了磨光这一技巧。
引理(Urysohn, 光滑版本). 对于欧式空间$mathbb{R}^n$的两个分离的闭集$A,B$, 如果其中之一是紧致的, 则他们可以被光滑函数分离, 具体来说, 存在光滑函数$f:X o [0,1]$使得$$f(A)=0qquad f(B)=1$$
证明. 考虑$f(x)=egin{cases}0& xleq 0\ mathrm{e}^{-1/x} & x>0end{cases}$, 不难验证, $f$是光滑函数. 考虑$g(x)=frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)}$这也是光滑函数, 对于$a<bleq c<d$, 记$h(x)=egin{cases} gleft(frac{x-a}{b-a} ight)& xleq b \ gleft(frac{d-x}{d-c} ight)& bleq xleq dend{cases}$, 这个函数光滑且在$(a,d)$以外为$0$, 在$[b,c]$上为$1$, 方便起见记$[b,c]leq h(x)leq (a,d)$. 任意$epsilon$可以作${0}leq h(x)leq (-epsilon,epsilon)$, 再通过调整$h$前的倍数可以使得存在光滑函数$chi^{0}_{epsilon}$满足$$chi^0_{epsilon}(x)>0iff xin (-epsilon,epsilon)qquad int chi^0_{epsilon}=1$$作$chi_{epsilon}(x^1,ldots,x^n)=chi^0_{epsilon}(x^1)ldots chi^0_{epsilon}(x^n)$, 则满足$$chi_{epsilon}(x)>0iff xin (-epsilon,epsilon)^nqquad int chi_{epsilon}=1$$
在这里我们选择距离$d(x,y)=sum|x_i-y_i|$, 选择$epsilon>0$使得任意$ain A,bin B$都有$3epsilon<d(a,b)$. 记$A^{*}={x: d(x,A)leq epsilon}, B^*={x: d(x,B)leq epsilon}$. 记$i=1-1_{A^*}$, $1_{A^*}$是$A^*$的特征函数, 此时考虑$$d(x,A)=(dmathsf{*}chi_{epsilon})(x)=int_{mathbb{R}}i(x-t)chi_{epsilon}(t)mathrm{d} t=int_{(-epsilon,epsilon)^n}i(x-t)chi_{epsilon}(t)mathrm{d} t$$注意到
- $xin A$意味着$x-tin A^*$, 此时$d(x-t)=0$, 故$f(x)=0$.
- $xin B$意味着$x-tin B^*$, 此时$d(x-t)=1$, 故$f(x)=1$.
下面再验证$f(x)$光滑, $$frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=int frac{i(x+Delta x-t)-i(x-t)}{Delta x} chi_{epsilon}(t) extrm{d}t =int frac{chi_{epsilon}(x+Delta x-t)-chi_{epsilon}(x-t)}{Delta x} i(t) extrm{d}t $$因为$chi_{epsilon}$光滑且只生活在一个紧致集上根据中值定理以及控制收敛定理, $Delta x o 0$和积分号可以交换顺序, 故$$frac{ extrm{d}}{ extrm{d} x}f (x)=int i(t)frac{ extrm{d}}{ extrm{d} x}chi_{epsilon}(x-t) extrm{d}t=int i(x-t)frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}chi_{epsilon}(t) extrm{d}t$$上式是一维情况, 当中$frac{ extrm{d}}{ extrm{d} x}$在高维可以换成任意偏微分算子, 换言之, 我们证明了$f(x)$是光滑的. $square$
实际上这样得到的函数还可以对导数做一些估计。
记$chi$为$mathbb{R}^n$在$0$处取$1$, $(-1,1)^n$外取$0$且$||chi||_{L^1}=1$的光滑函数, 对于重指标$alpha$, 记一致范数$|| partial^{alpha} chi ||=C_{alpha}$. 则$chi_{epsilon}$可以取为$frac{chi(x/epsilon)}{epsilon^n}$, 故此时$|| partial^{alpha} chi_{epsilon}||=frac{C_{alpha}}{epsilon^{|alpha|+n}}$. 对于可测集合$X$, 考虑$$f(x)=int (1-1_X)(x-t)chi_{epsilon}(t) extrm{d} t=int_{(-epsilon,epsilon)^n} (1-1_X)(x-t)chi_{epsilon}$$则$$||partial^{alpha} f||leq (2epsilon)^n ||partial^{alpha}chi_{epsilon}||leq frac{2^n C_{alpha}}{epsilon^{|alpha|}}$$
这样, 对于紧致集$A$, 闭集$B$, Urysohn引理所作的光滑函数$f$将满足$||partial^{alpha}f||leq frac{2^n 3^{|alpha|} C_{alpha}}{d(A,B)^{|alpha|}}$. 即对每个$alpha$, 存在常数$M_{alpha}$使得$$||partial^{alpha}f||leq frac{M_{alpha}}{d(A,B)^{|alpha|}}$$
不过还有如下方法可以将定理做得更强。
引理(Urysohn, 光滑版本). 对于欧式空间$mathbb{R}^n$的两个分离的闭集$A,B$, 则他们可以被光滑函数分离, 具体来说, 存在光滑函数$f:X o [0,1]$使得$$f^{-1}(0)=Aqquad f^{-1}(1)=B$$
证明. 采取的方法是对每个闭集$A$找类似距离函数的光滑函数$partial(x,A)geq 0$使得$0$的原像就是$A$, 然后为了达成要求只需要$f(x)=frac{partial(x,A)}{partial(x,A)+partial(x,B)}$. 可以断言, 任何一个闭集$A$都是可数个正方形${x_i+(-epsilon_i,epsilon_i)^n}$的并, 不妨假设$epsilonleq 1$. 上面可以得到$chi$在$0$处取$1$, $(-1,1)^n$外取$0$, 取$C_ngeq 1$使得$$max_{|alpha|leq n} || partial^{alpha} chi ||leq C_n$$作$$partial(x,A)=sum_{i=1}^infty frac{epsilon_i^i}{2^i C_i}chileft(frac{x-x_i}{epsilon_i} ight)$$此时$$|partial^{alpha}partial(x)| leq sum_{i=1}^infty frac{epsilon_i^{i-|alpha|}}{2^i C_i}(partial^{alpha}chi)left|left(frac{x-x_i}{epsilon_i} ight) ight|leq sum_{i=1}^{|alpha|}(ldots)+sum_{i=|alpha|+1}^infty frac{1}{2^i}$$故各阶导数均一致收敛, 故$partial(x,A)$无限次可微. 而显然$partial(x,A)=0iff xin A$. $square$
下面是著名的Tietz扩张定理。
定理(Tietz扩张). 如果$X$是正规空间或度量空间, $A$是其中一个闭集(或$X$是局部紧空间, $A$是紧致时), 则任何$A$上的连续函数都可以延拓到整个$X$上.
证明. 设连续函数$f:A o mathbb{R}$, 首先, 可以不妨假设$f$是有界的, 否则可以$arctan$伺候. 不妨假设$f(A)subseteq [0,1]$. 因为$A$是闭集(紧致集), 故$[0,1]$的闭集的原像是$X$的闭集(紧致集).
- 根据Urysohn引理考虑取连续函数$g_1:X o [0,1/3]$分离$B_1=f^{-1}[2/3,1]$和$C_1=f^{-1}[0,1/3]$, 使得$g_1(B_1)=1/3,g_1(C_1)=0$.
- 再考虑$f_2=f-g_1|_A$, 此时$f_2(A)subseteq [0,2/3]$, 然后再取取连续函数$g_2:X o [0,(1/3)(2/3)]$分离$B_2=f_2^{-1}[(2/3)^2,2/3], C_2=f_2^{-1}[0,(1/3)(2/3)]$, 使得$g_2(B_2)=(1/3)(2/3), g_2(C_2)=0$.
- 再考虑$f_3=f_2-g_2|_A$, 此时$f_3(A)subseteq [0,(2/3)^2]$.
以此类推可以得到${g_n}_{n=1}^{infty}}$使得$||g_n||leq (1/3)(2/3)^{n-1}$, $||f-sum_{i=1}^n g_i||_Aleq (2/3)^n$, 换言之$g=sum_{i=1}^infty g_i$一致收敛(从而连续), 且在$A$上$f=g$. 这就完成了证明. $square$
下面可以来推导著名的单位分拆定理。
定义(单位分拆). 对于拓扑空间$X$, 对于连续函数$f: X o mathbb{R}$, 记支集$operatorname{supp} f=overline{{xin X:f(x) eq 0}}$. 对于开覆盖${U_{alpha}}$, 称一族函数${varphi_i}$是${U_{alpha}}$的单位分拆如果
- 对任意$i$, 存在$alpha$使得$operatorname{supp} varphi_isubseteq U_{alpha}$.
- 对每个$xin X$, 存在邻域$U$使得${i: Ucapoperatorname{supp}varphi_i eq varnothing}$是有限集.($operatorname{supp}varphi_i$局部有限)
- 对任意$xin X$都有$sum_{i} varphi_i(x)=1$, 以及$varphi_i(x)geq 0$.
如果$varphi_i$都是光滑的, 就称之为光滑单位分拆.
当然，最为基本的就是紧致的情况。
定理(单位分拆存在定理, 紧致版本). 对于Hausdorff紧致空间$X$, 任意开覆盖总存在单位分拆.
证明. 任意取开覆盖, 对于每一点$x$, 假设开覆盖中$xin U_x$, 存在开集$W_x,V_x$使得$$xin W_xsubseteq overline{W_x}subseteq V_xsubseteq overline{V_x}subseteq U_x$$此时${W_x}$还是开覆盖, 故存在有限覆盖${W_{x_i}}$. 此时根据Urysohn引理作$psi_i:X o [0,1]$满足$varphi_i(overline{W_{x_i}})=1$且$varphi_i(V_{x_i}^c)=0$, 作$psi=sum varphi_i$, 因为${W_{x_i}}$是开覆盖, 故$psigeq 1$, 故$varphi_i=frac{psi_i}{psi}geq 0$的支集$subseteq overline{V_x}subseteq U_x$, 且满足$sum varphi_i=1$, 故满足条件. $square$
我们自然也不会放过光滑的版本。
定理(单位分拆存在定理, 光滑版本). 对于流形$M$(假定C2), 任意开覆盖总存在光滑单位分拆.
证明. 我们总可以找到可数的开集${U_i}$和紧致集$F_i$使得$$U_1subseteq F_1subseteq U_2subseteq F_2subseteq ldots qquad igcup_{i=1}^infty U_i=M$$只需要取可数拓扑基${B_i}$, 定义$U_1=B_1$, $F_1=overline{U_1}$, 找充分大的$n$使得$U_2=igcup_{i=1}^n U_isupseteq F_1$以此类推. 这样${U_{i+1}setminus F_{i-1}}$就是一个局部有限的可数开覆盖. 假设$xin U_isetminus U_{i-1}$, 那么上面的证明中的$V_x,W_x$不妨取在$U_isetminus F_{i-1}$之中. 他们形成$F_isetminus U_{i-2}$的开覆盖, 根据Lindelöf覆盖定理他们存在可数子覆盖, 不难验证选出的可数子覆盖满足“局部有限”的条件, 之后的证明都如愿以偿. $square$
下面我们来介绍“光滑”版本的延拓定理。
定理(子流形延拓定理). 对于流形$M$, 子流形$Nsubseteq M$上的光滑函数可以延拓到$M$上.
证明. 假设光滑函数是$f$. 在某一点附近$U$可以选择坐标卡使得$N$的坐标恰好是$M$坐标前几位(因为子流形要求非退化, $N$的坐标切映射可以延拓成一组基), 这样局部就得以延拓, 假设延拓为$f_U$. 将这些局部收集起来得到$U_i$. 作单位分拆${varphi_j}$, 则在$operatorname{supp}varphi_jsubseteq U_i$对某个$i$, 作$g_i=varphi_if_U$, 这是一个定义在整个$M$上的光滑函数, 再做$g=sum g_i$, 这就为所求的光滑函数. $square$
至此，可以我们可以说扩张定理的根基是Urysohn引理，Urysohn引理是扩张定理的特殊情况，粗略来说Urysohn引理得到的函数就是连续（光滑）函数大背景下是对特征函数的替代，通过特征函数组成简单函数（即他们的和）来逼近函数是一种约化的简单方法，问题简单化之后变得能够解决，同样的思想还被用于证明Riesz表示定理。Urysohn引理的进一步“用法”就是用于局部紧空间，给一个邻域“搭台唱戏”，这样导出的单位分拆得将局部的函数“连成一片”，尽管他们在相交处可能是不同的，这足以看到单位分拆是微分流形上关于函数（更广泛来说是场）的“局部-整体”原理，而如解析函数一类则无此性质，这表明解析函数的刚性，这从侧面反映出光滑函数虽然比连续函数要求稍高一些，但本质上还是足够“柔软”的。