【学习笔记】数论、数学—补充证明 (3)
( ext{结论:})
[exists xin N^{*},a^x=1(mod m) iff gcd(a,m)=1
]
( ext{证明(右推左):})
( ext{由欧拉定理可知当} x=varphi(m) ext{时该同余方程成立。})
( ext{证毕。})
( ext{证明(左推右):})
( ext{易知}) (exists xin N^{*},gcd(a^x,m)=gcd(a^x,a^xmod m)=gcd(a^x,1)=1)
( ext{假设}) (gcd(a,m) eq1)，( ext{则}) (forall kin N^{*}, gcd(a^k,m) eq1)
( ext{所以}) (forall kin N^{*}, gcd(a^k,a^kmod m) eq 1,) ( ext{与前者}) (exists xin N^{*},gcd(a^x,m)=1) ( ext{矛盾})
( ext{所以必有}) (gcd(a,m)=1)
( ext{证毕。})