• 【题解】妖怪 [SCOI2016] [P3291] [Bzoj4570]


    【题解】妖怪 [SCOI2016] [P3291] [Bzoj4570]

    传送门:妖怪 ( ext{[SCOI2016] P3291]}) ( ext{[Bzoj4570]})

    【题目描述】

    给出 (n) ((nleqslant 10^6)) 个点 ((x_i,y_i)),设 (f_i(a,b)=x_i+y_i+frac{bx_i}{a}+frac{ay_i}{b}),求出一组 ((a,b)),使得 (max{f_{iin[1,n]}(a,b)}) 最小,输出这个最小值。

    【分析】

    感觉网上很多题解都没讲清楚。

    【Solution #1】

    (k=frac{b}{a}),则上面的函数可以转换为 (f_i(k)=x_i+y_i+kx_i+frac{y_i}{k})

    求最大的最小很明显要二分,每次检查是否存在一个正实数 (k) 满足所有点的 (f(k)) 都小于等于 (mid) 。即判断这个不等式组是否有解:

    (egin{cases}f_1(k)leqslant mid\f_2(k)leqslant mid\...\f_n(k)leqslant mid end{cases})

    易知 (f_i) 是一个双勾函数, 我们可以通过解关于 (k) 的一元二次方程 (f_i(k)=mid) 得出 (k) 的一(两)个解 (r_1,r_2) ((r_1leqslant r_2)),则当 (kin[r_1,r_2]) 时一定满足 (f_i(k)leqslant mid) 。对所有点求出 (k) 的合法区间,最后判断是否存在交集即可。

    时间复杂度:(O(nlog inf)),可能会 (TLE),但卡一卡貌似能水过。

    代码就不放了()。

    【Solution #2】

    此为正解。

    (k=-frac{b}{a}),则 (f_i(k)=x_i+y_i-kx_i-frac{y_i}{k})(依然是双勾函数)。

    假设有一条斜率为 (k) 且经过了点 ((x_i,y_i)) 的直线,则该直线点斜式可表示为 (y=kx+(y_i-kx_i)),其横纵截距分别为 (frac{kx_i-y_i}{k})(y_i-kx_i)

    把这玩意儿加起来试试?

    ((frac{kx_i-y_i}{k})+(y_i-kx_i)=x_i+y_i-kx _i-frac{y_i}{k})

    发现其表示式和 (f_i(k)) 一模一样!。

    也就是说 (f_i(k)) 的实质是斜率为 (k) 且过点 ((x_i,y_i)) 的直线横纵截距之和。

    假设当前 (k) 已经确定,则计算 (max{f_{iin[1,n]}(k)}) 的过程就是个线性规划,易知该直线与上凸包的切点处 (f(k)) 值最大。

    反过来想,对于凸包上的每一个点 (i),考虑在什么情况下 (f_i(k)) 大于等于其他所以点的 (f(k)),然后在合法情况中找到最小的 (f_i) 来更新答案。设点 (i) 在凸包上左右相邻两点与 (i) 所形成的直线斜率分别为 (k_1,k_2) ((k_1 > k_2)),则仅当 (k)((-infty,k_2]cup [k_1,infty)) 中取值时合法(只有此时才能满足直线与凸包切点恰好为 (i)

    已知当 (-k=frac{y_i}{x_i})(f_i) 可取得最小值(均值不等式),如果 (k=-frac{y_i}{x_i}) 在上述合法值域内,那么 (f_i(-frac{y_i}{x_i})) 就可以作为一个答案的候选项。

    如果 (k=-frac{y_i}{x_i}) 不在上述合法区域内,那么就要想办法找到其他 (k) 使得 (f_i(k)) 尽量小,由于双勾函数的性质, (k) 越接近 (-frac{y_i}{x_i}) 函数值就越小,所以直接取 (k=kr)(k=kl) 的情况进行决策即可。

    除了求上凸包要排序,决策都是线性的,时间复杂度:(O(nlog n))

    (毒瘤 (OI) 的算几依旧是这么毒瘤,不过这次代码长度倒是挺良心的)

    【Code】

    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #define LD double
    #define LL long long
    #define Vector Point
    #define Re register int
    using namespace std;
    const int N=1e6+3;
    const LD eps=1e-8;
    inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}
    int n,t;LD ans=1e18;
    inline void in(Re &x){
        int f=0;x=0;char c=getchar();
        while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
        while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=f?-x:x;
    }
    struct Point{int x,y;Point(Re X=0,Re Y=0){x=X,y=Y;}}P[N],cp[N];
    inline LL Cro(Vector a,Vector b){return (LL)a.x*b.y-(LL)a.y*b.x;}
    inline Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline bool cmp(const Point &A,const Point &B){return A.x!=B.x?A.x<B.x:A.y>B.y;}
    inline LD getk(Point a,Point b){return (LD)(a.y-b.y)/(a.x-b.x);}
    inline LD calc(Point a,LD k){return dcmp(k)?a.x+a.y-a.x*k-a.y/k:1e18;}
    int main(){
    //    freopen("123.txt","r",stdin);
        in(n);
        for(Re i=1;i<=n;++i)in(P[i].x),in(P[i].y);
        sort(P+1,P+n+1,cmp);
        for(Re i=1;i<=n;++i){
            while(t>1&&Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1])>=0)--t;
            cp[++t]=P[i];
        }
        for(Re i=1;i<=t;++i){
            LD k=-sqrt((LD)cp[i].y/cp[i].x);
            if((i==1||dcmp(k-getk(cp[i],cp[i-1]))<=0)&&(i==t||dcmp(k-getk(cp[i],cp[i+1])>=0)))ans=min(ans,calc(cp[i],k));
            if(i>1)ans=min(ans,calc(cp[i],getk(cp[i],cp[i-1])));
            if(i<t)ans=min(ans,calc(cp[i],getk(cp[i],cp[i+1])));
        }
        printf("%.4lf
    ",ans);
    }
    
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