最大公约数(gcd)
- 求最大公约数有两种方法，一种是辗转相除法，另一种是更相减损法
辗转相除法
(gcd(a, b) = gcd(b, amod b))
更相减损法
(gcd(a, b) = gcd(a-b, b))
欧拉函数(varphi)
- (varphi(n)) 表示小于等于 (n) 和 (n) 互质的个数
由唯一分解定理，设 (n = prod_{i=1}^{s} p_{i}^{k_i})，
由于 (varphi) 函数的积性，
[varphi(n) = prod varphi(p_{i}^{k_i})
]
因为，(p^k) 中有 (p^{k-1}) 个数能整除 (p) 的数, 所以 (varphi(p^k) = p^k - p^{k-1})。
[varphi(n) = prod (p_{i}^{k_i} -p_{i}^{k_i-1} )
]
[varphi(n) = prod p_{i}^{k_i}(1 -frac{1}{p_i} )
]
[varphi(n) = nprod (1 -frac{1}{p_i} )
]
[varphi(n) = nprod (frac{p_i-1}{p_i} )
]