最小瓶颈路

定义：

最小瓶颈路问题是指在一张无向图中，询问一个点对$(u,v)$，需要找出从$u$到$v$的一条简单路径，使路径上所有边中最大值最小。

根据查询次数不同，最小瓶颈路问题可分为单次查询和多次查询。

单次查询：

例题：Luogu P1396 营救题目链接

题解一：

根据“最大值最小”，不难想到二分答案。

答案肯定处于所有边中最小值和最大值之间，因此我们二分答案，$check$的时候以二分值为基准进行$BFS/DFS$，不经过权值大于二分值的边，如果能搜到终点，则说明二分值过大；如果不能搜到终点，则说明二分值过小。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=1e4+10,maxm=4e4+10,inf=0x7fffffff;
 4 int heade[maxn],ev[maxm],ew[maxm],nexte[maxm];
 5 int isvis[maxn];
 6 int n,m,s,t,tot=0,mid;
 7 void add_edge(int u,int v,int w){tot++;ev[tot]=v;ew[tot]=w;nexte[tot]=heade[u];heade[u]=tot;}
 8 bool dfs(int ui)
 9 {
10     int i,vi,wi;bool flag=false;
11     isvis[ui]=1;if(ui==t){return true;}
12     for(i=heade[ui];~i;i=nexte[i])
13     {
14         vi=ev[i];wi=ew[i];
15         if(isvis[vi]||wi>mid){continue;}
16         flag|=dfs(vi);
17     }
18     return flag;
19 }
20 int main()
21 {
22     int i,j,u,v,w,l,r,ans;
23     cin>>n>>m>>s>>t;l=inf;r=-inf;
24     memset(heade,-1,sizeof(heade));
25     for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);l=min(l,w);r=max(r,w);add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);}
26     while(l<=r)
27     {
28         mid=(l+r)>>1;memset(isvis,0,sizeof(isvis));
29         if(dfs(s)){ans=mid;r=mid-1;}
30         else{l=mid+1;}
31     }
32     cout<<ans;
33     return 0;
34 }

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题解二：

利用$Kruskal$的过程。将所有边升序排序，逐一枚举每条边尝试将边两端的点所在集合进行合并，如果合并之后$u$和$v$在同一个集合中，则说明此时$u$到$v$连通。由于边的枚举是由小到大，因此可以保证最后一次合并的边的权值就是答案。

代码：

多次查询：

例题：Luogu T15193 【模板】最小瓶颈路题目链接

题目背景

无

题目描述

给定一张带权无向图，每次询问两个点，找出两点间的一条简单路径，使路径中权值最大的边权值最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行为三个数字

第二行至第$m+1$行为三个数字

第$m+2$行至第$m+q+1$行为两个数字$

输出格式：

共$q$行，每行一个数字，表示询问结果。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于30%的数据，

对于60%的数据， $10^3,mleq 10^5$。$

对于100%的数据， $10^5,mleq 2 imes 10^5$。$

注意判断自环和重边。

题解：

根据单次查询中的题解二，可以证明该无向图最小生成树中u到v的路径一定是u到v的最小瓶颈路之一（因为最小瓶颈路很可能有多条）。因此，对这张无向图预先进行$MST$，然后就变成了对于每个询问$(u,v)$，回答$u$到$v$的路径上的权值最大值。这个可以用倍增$LCA$解决。

具体思路是在$ST$表预处理时，维护一个从该节点到其$k$级父亲中经过的所有边的最大权值。在查询中仍然将$u$和$v$往上跳，同时维护路径中最大值，到其$LCA$结束。

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=1e5+10,maxm=2e5+10,maxj=17,inf=0x7fffffff;
 4 struct edge{int u,v,w;}e[maxm];
 5 int heade[maxn],ev[maxm],ew[maxm],nexte[maxm];
 6 int father[maxn],dep[maxn];
 7 int fa[maxn][maxj],maxv[maxn][maxj];
 8 int n,m,q,root,tot=0,num=0;
 9 void add_edge(int u,int v,int w){tot++;ev[tot]=v;ew[tot]=w;nexte[tot]=heade[u];heade[u]=tot;}
10 int cmp(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
11 int find(int x){return father[x]<0?x:father[x]=find(father[x]);}
12 void union_set(int u,int v,int w)
13 {
14     int x=find(u),y=find(v);
15     if(x==y){return;}
16     if(-father[x]>-father[y]){father[x]+=father[y];father[y]=x;}
17     else{father[y]+=father[x];father[x]=y;}
18     add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);
19     num++;
20 }
21 void dfs(int ui)
22 {
23     int i,vi,wi;
24     for(i=heade[ui];~i;i=nexte[i])
25     {
26         vi=ev[i];wi=ew[i];if(vi==fa[ui][0]){continue;}
27         fa[vi][0]=ui;maxv[vi][0]=wi;dep[vi]=dep[ui]+1;
28         dfs(vi);
29     }
30 }
31 void init()
32 {
33     int i,j;
34     for(j=1;(1<<j)<=n;j++){for(i=1;i<=n;i++){if(fa[i][j-1]){fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];maxv[i][j]=max(maxv[i][j-1],maxv[fa[i][j-1]][j-1]);}}}
35 }
36 int query(int u,int v)
37 {
38     int i,j,t,tmp=-inf;
39     if(dep[u]<dep[v]){swap(u,v);}
40     t=(int)(log(dep[u])/log(2));
41     for(j=t;j>=0;j--){if(dep[u]-(1<<j)>=dep[v]){tmp=max(tmp,maxv[u][j]);u=fa[u][j];}}
42     if(u==v){return tmp;}
43     for(j=t;j>=0;j--){if(fa[u][j]&&fa[u][j]!=fa[v][j]){tmp=max(tmp,max(maxv[u][j],maxv[v][j]));u=fa[u][j];v=fa[v][j];}}
44     return max(tmp,max(maxv[u][0],maxv[v][0]));
45 }
46 int main()
47 {
48     int i,j,u,v,w;
49     //freopen("data.in","r",stdin);
50     //freopen("test.out","w",stdout);
51     cin>>n>>m>>q;root=(1+n)>>1;
52     memset(heade,-1,sizeof(heade));memset(father,-1,sizeof(father));
53     for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);}
54     sort(e+1,e+m+1,cmp);
55     for(i=1;i<=m;i++){u=e[i].u;v=e[i].v;w=e[i].w;union_set(u,v,w);if(num>=n-1){break;}}
56     dfs(root);init();
57     for(i=1;i<=q;i++)
58     {
59         scanf("%d%d",&u,&v);
60         printf("%d
",query(u,v));
61     }
62     return 0;
63 }