逆元

定义：

逆元指在某种运算中，对一个数a进行逆运算可以等价为对一个数b进行原运算，此时称a与b互为逆元。

本文中的逆元均指模算术中的乘法逆元，即对于一个数a，如果存在b满足a*b≡1(mod p)，则称a与b在模p意义下互为逆元。

由于同余的性质，我们在进行模算术除法时不能简单地除一个数，而应该乘该数的逆元。

求法：

（1）单点逆元

 a*b≡1(mod p)等价于p|a*b-1，整理得a*b-p*k=1，b,k为未知变量。此时可以用扩展欧几里得求解。时间复杂度O(log₂ ^max(a,b))。

特别地，如果p为质数，若p整除a，则显然无解，若p不整除a，则gcd(a,p)=1，由费马小定理，a^p-1 ≡1(mod p)，即a*a^p-2 ≡1(mod p)。所以a^p-2 与a互为逆元。可用快速幂求解。时间复杂度O(log₂ ^p)。

（2）区间逆元

如果要求1~n的逆元，如果对每个值求单点逆元，复杂度将达O(nlog₂ ^p)，而存在一种逆元的递推求法，即从1~n-1的逆元可O(1)求出n的逆元。

原理:

记a的逆元为a^-1 。此时我们求i的逆元。

设p=i*q+r(0≤r<i)，两边取模得i*q+r≡0(mod p)，整理得r≡-i*q(mod p)。

两边同时乘i和r的逆元，得i^-1 ≡-q*r^-1 。又因为r^-1 之前已经求出，所以可以O(1)算出。随后只需根据最小非负整数的要求进行调整即可。

代码：

inv[1]=1;//1的逆元总是1

for(int i=2;i<=n;i++){inv[i]=(p-p/i*inv[p%i]%p)%p;}

例题：

NOIP2012 同余方程 题目链接

题意：求一个数a在模b意义下的逆元，a,b≤2e9。

题解：扩展欧几里得即可。

Luogu P3811 【模板】乘法逆元 题目链接

题意：求1~n在模p意义下的逆元。1≤n≤3e6,n<p<20000528

题解：线性递推即可。