什么是编码
大家都知道计算机其实是一个二进制的世界，但是它又是如何为我们呈现出另一面缤纷多彩的世界出来的呢？编码技术就是其中最重要的基础组成部分，事实上在人类世界中编码技术是无处不在的。
这里所说的编码指并非指Coding，Coding指的是书写代码的过程，即编程(Programming)。
首先让我们用“数学”的语言描述一下到底什么是编码：
编码就相当于一个函数，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中去。
通俗的讲，编码就是一个协议（规定），以实现用一个信息来代替另外的一个信息的目的。计算机世界是一个二进制世界，那么她是如何认识‘A’这个字母的呢？答案就是利用编码技术硬性地将二进制数‘1000001’映射为‘A’，只要是遵循这项编码技术的计算机，当它遇到一个字符值等于‘1000001’时，她就会将它解释为字符‘A’。
一般而言，编码中的两个集合之间的元素都是一一对映的，当然也有例外。
什么是数值编码
由于计算机是二进制的，无法表达负数，整数值，小数等数值，因此计算机需要将这些数值进行编码，来扶持这些数值的使用。下面只讲正负整数值的映射。
原码
原码是计算机数值编码中最简单的一种，当然也有许多的局限性：
原码 十进制数
00000 映射为 0
00001 映射为 1
00010 映射为 2
00011 映射为 3
00100 映射为 4
…
…
…
11111 映射为 31
可以看出，现在上面的原码编码与二进制数是一样的。聪明的童鞋已经看出来了，使用上面的原码不能表示负数，因此我们还是利用编码技术，将第一个二进制数位规定为符号位，当这个位为0时，表示正数；为1时表示负数。如下：
原码 十进制数
0 0000 映射为 0
0 0001 映射为 1
0 0010 映射为 2
…
…
…
1 1101 映射为 -13
1 1110 映射为 -14
1 1111 映射为 -15
对于原码编码来说，加法是非常简单的，只要在能够表示的范围内，直接使用二进制加法即可，但是使用减法可就麻烦了（计算机中为了简化设计，使用编码技术来用加法实现减法），例如：
2 – 13 = -11
根据交换律，我们可以写成这种形式：
-13 + 2 = -11
那么使用原码的加法则为：
1 1101 + 0 0010
那么结果就为：
1 1101 + 0 0010 = 1 1111
可以看出1 1111在原码中映射为-15，而正确的结果应该是-11。因此当遇到减法时，使用原码是不合适的。为什么不适合呢？我们再观察一下表格，我们可以看出，其中对于负数的编码中，二进制值越大，映射出来的负数却越小：
1 1101 < 1 1110 < 1 1111
-13 >-14 > -15
因此，当我们对-13加上2时，反而得出了-15，而不是-11。
为了解决这个问题，就有了下面的反码编码技术以及补码编码技术。
反码
虽然使用原码能够表示负数，但是在运算减法时得出的却是错误的结果。为了满足使用加法实现减法的要求，前辈们创造出了反码这项编码技术（致敬）。反码的映射表是这样子的：
反码 十进制数
0 0000 映射为 0
0 0001 映射为 1
0 0010 映射为 2
…
…
…
1 1101 映射为 -2
1 1110 映射为 -1
1 1111 映射为 -0
我们对照表中的每一对相反数可以看出，他们的二进制码都是取反的。例如
1 1110 -1
| ||||
0 0001 1
将一个二进制数中的位全部置反的操作（0则置为1，1则置为0），我们称之为取反。在反码的计算机中，对一个数取反，即可得到他的相反数。
接下来，让我们发挥一点想象力来探究下反码对于减法是如何实现的，我们根据0 0000到1 1111的顺序列出反码的映射表：
0 被映射为 0 0000 _____________________正限线 <--------------|
1 被映射为 0 0001 |
2 被映射为 0 0010 |
3 被映射为 0 0011 |
4 被映射为 0 0100 |
5 被映射为 0 0101 |
6 被映射为 0 0110 |
7 被映射为 0 0111 |
8 被映射为 0 1000 |
9 被映射为 0 1001 |
10 被映射为 0 1010 |
11 被映射为 0 1011 |
12 被映射为 0 1100 |
13 被映射为 0 1101 |
14 被映射为 0 1110 |
15 被映射为 0 1111 |
_________________________________________假想的对称轴 |
-15 被映射为 1 0000 |
-14 被映射为 1 0001 |
-13 被映射为 1 0010 |
-12 被映射为 1 0011 |
-11 被映射为 1 0100 |
-10 被映射为 1 0101 |
-9 被映射为 1 0110 |
-8 被映射为 1 0111 |
-7 被映射为 1 1000 |
-6 被映射为 1 1001 |
-5 被映射为 1 1010 |
-4 被映射为 1 1011 |
-3 被映射为 1 1100 |
-2 被映射为 1 1101 |
-1 被映射为 1 1110 |
-0 被映射为 1 1111_____________________负限线 <--------------|
我们可以看出，正数跟负数被一条假想的对称轴分开来，相互对称。我们可以看到，反码的编码方式避免了原码所出现的问题：
-2 < -1 < -0
1 1101 < 11110 < 1 1111
接下来我们看看反码是如何做减法：
2 – 13 = 2 +(-13) = 0 0010 + 1 0010 = 1 0011
通过查表可以知道1 0011正是-11。
目前为此，反码的减法似乎已经能够正常工作了，但是接着看下面的式子，情况却有些不同：
-2 – 13 = -2 + （-13） = 1 1101 + 1 0010 = 0 1111
注意虽然1 1101 + 1 0010应该等于10 1111，但在我们这里的内存模型中，一个数值最多由5个位来储存，因此第6位会被自动丢弃了。
通过查表可以知道0 1111是+15，而不是我们要的值-15。我们接下来比较一下这两种情况，探究一下为什么会出现这种问题？
第一种情况：2 – 13 = 2 + (-13) = 0 0010 + 10010 = 1 0011
对于第一种情况，我们可以看到计算机实际上是做了0 0010 + 1 0010这个加法。参照映射表来看，在这个加法中，我们可以把0 0010看成基址，而1 0010是一个偏移，意思就是把0 0010做为原点，向下走1 0010步，也就是说从+2（0 0010）这个位置，向下走18（1 0010）步，我们可以看到+2向下的第18个数正是-11，因此答案正确。
第二种情况：-2 – 13 = -2 + （-13） = 1 1101 +10010 = 0 1111
第二种情况与第一种情况稍有不同。我们可以看到这个操作相当于以-2为原点，向下走18步。但是我们可以看到，当我们走到第三步是就已经越出了负限线，回到正限线从头开始计数，更糟糕的是反码的编码中有两个0，一个+0，一个-0，占了负限线，正限线两个位置，因此我们走的两步实际上都踏在了0这个值上，所以我们距离正确的值就会少走一步。因此，为了得到正确的结果，那么只要我们发现运算时跨越了负限线，那么其值就一定要再加上1（即再向下踏一步）。
纠正后的操作如下：
-2 – 13 = -2 + （-13） = 1 1101 + 10010 = 0 1111
0 1111 + 1 = 10000（-15）
至此，反码减法完美实现。
实际上“跨越了负限线”对应的计算机术语是“溢出”，即当前的5位的内存位不足以保存当前的值时（0 0010 + 1 0010的值应该为6位的10 1111），我们称这种情况为“溢出”，当发生溢出时，计算机舍弃第6位（相当于从正限线从新开始向下走步数一样，而不是跑出负限线），并设置溢出位标志为1，随后计算机将溢出位标志的值加到结果值上。
实际上不管是第一种还是第二种情况，计算机都会将溢价标志的值加到结果值上，结果总是正确的，而不是多加电路来判断是否加上溢出位标志：
2 - 13 + 溢出位 = 0 0010 + 10010 + 溢出位 = 1 0011 + 0（溢出位） = 10011
-2 - 13 + 溢出位 = 1 1101 + 10010 + 溢出位 = 0 1111 + 1(溢出位) = 1 0000
注意，此处一旦计算机做完加法，溢出位就会被置位并与其结果相加。
补码
我们可以看到，反码的实现有一个问题，因为它有两个0，而不是一个0，并且这两个0（+0，-0）是头尾连接在一起的。因此，我们需要进行改进，我们将-0到-15都向下位移一个位置，-0则越过负限线与正限线的+0重叠在一起，映身表就变成这样：
0 被映射为 0 0000 _____________________正限线 <--------------|
1 被映射为 0 0001 |
2 被映射为 0 0010 |
3 被映射为 0 0011 |
4 被映射为 0 0100 |
5 被映射为 0 0101 |
6 被映射为 0 0110 |
7 被映射为 0 0111 |
8 被映射为 0 1000 |
9 被映射为 0 1001 |
10 被映射为 0 1010 |
11 被映射为 0 1011 |
12 被映射为 0 1100 |
13 被映射为 0 1101 |
14 被映射为 0 1110 |
15 被映射为 0 1111 |
_________________________________________假想的对称轴 |
-16 被映射为 1 0000 |
-15 被映射为 1 0001 |
-14 被映射为 1 0010 |
-13 被映射为 1 0011 |
-12 被映射为 1 0100 |
-11 被映射为 1 0101 |
-10 被映射为 1 0110 |
-9 被映射为 1 0111 |
-8 被映射为 1 1000 |
-7 被映射为 1 1001 |
-6 被映射为 1 1010 |
-5 被映射为 1 1011 |
-4 被映射为 1 1100 |
-3 被映射为 1 1101 |
-2 被映射为 1 1110 |
-1 被映射为 1 1111_____________________负限线 <--------------|
我们可以看到，在原来的位置（即原来是-15的位置）现在由-16来代替，这样负数就比正数多了一个数，所以补码的正负数是不对称的。
对于反码来说将一个负数转化为正数的方法是使用取反操作，对于补码来说，也有一个操作将负数转化为正数，我们称之为取补。
假设有一个数A，其取补操作为：1.求A的反码 2.反码值加1。
我们知道反码是从补码改进来的，主要的改动是负数向下位移了一位，因此我们只要求出A的反码，然后加1即可。反码是可以使用取反来将负数转化为正数的，但是补码则不行，因为补码正负数分布是不对称了（补码中0的补码还是0）。当然我们使用逆运算也是可以求出来的，但已经不能叫做补码操作了：
求补：-A = 求反（+A） + 1
求补逆运算：求反（+A） = （-A） - 1 =》 +A = 求反（（-A）-1）
即将负数减1，然后求反即得正数值。
我们可以使用上面反码中所举的两条式子来验算一下补码的减法：
第一种情况：2 – 13 = 2 + (-13) = 0 0010 + 1 0011 = 1 0101
1 0101正是-11的补码，正确。
第二种情况：-2 – 13 = -2 + （-13） = 1 1110 + 10011 = 1 0001
1 0001正是-15的补码，正确。
到这里我们已经学习了原码、反码以及补码。最后在后面留一道思考题。
思考题：
在补码中，为什么+3，+4等数取补后在负数部分都有对应的位置（即-3，-4两个位置），而0取补跟-16逆取补其对应的位置都是它们自身？为什么是-16跟0这两个数而不是其它数？给出一种直观的解释。
对于计算机浮点数编码部分将在另一篇文章中讲叙。
Thanks for reading, by XLCYun.
袖里藏云写于2013/10/20凌晨1：50
希望对计算机学习者们有所帮助，有问题请留言。转载请注明出处。