一．杜教筛
这有一些资料
2016年国家候选队论文任之洲积性函数求和的几种方法
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１．一般形式
设(f(n))为一个数论函数，求
[S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i)
]
其中(nleq10^{10})
分析：
直接求很困难，可以采用的一个方法是找出另外一个函数(g(x))
[f*g=sum_{i=1}^{n}sum_{j|i}f(i)g(frac{i}{j})=sum_{ij leq n}f(i)g(j)=sum_{i=1}^{n}g(i)sum_{j=1}^{leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor}f(j)
]
[=sum_{i=1}^{n}g(i)S(leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor)
]
然后就可以得到一个关于(S(n))的递推式
[g(1)*S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{i=2}^{n}g(i)S(leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor)
]
如果的((f*g)(i))前缀和以及(g(i))的前缀和都很快计算，那么就可以很快地计算(S(n))，直接计算时间复杂度(O(n^{frac{3}{4}}))，线性筛预处理前(n^{frac{2}{3}})项之后，时间复杂度为(O(n^{frac{2}{3}}))
２．(mu)
求
[S(n)=sum_{i=1}^{n}mu(i)
]
分析：
设(g=1)因为 (mu*l=varepsilon)，所以，就可以得到
[S(n)=varepsilon-sum_{i=2}^{n}S(leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor)
]
[S(n)=1-sum_{i=2}^{n}S(leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor)
]
时间复杂度(O(n^{frac{2}{3}}))
３．(varphi)
求
[S(n)=sum_{i=1}^{n}varphi(i)
]
设(g=1)因为(varphi*1=id)，所以
[S(n)=frac{n*(n+1)}{2}-sum_{i=2}^{n}S(leftlfloor frac{n}{i}
ight
floor)
]
（二）习题
1.(bzoj3944)
解析上面知识部分有
所以直接上代码，一定要注意，杜教筛的时候循环从2开始
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
typedef long long ll;
typedef double dd;
#define For(i,j,k) for (ll i=j;i<=k;++i)
#define Forr(i,j,k) for (ll i=j;i>=k;--i)
#define Set(a,p) memset(a,p,sizeof(a))
using namespace std;
template<typename T>bool chkmax(T& a,T b) {return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>bool chkmin(T& a,T b) {return a>b?a=b,1:0;}
const int maxn=2500000+100;
const ll maxx=2500000;
struct node {
ll phi,miu;
};
ll N;
ll p[maxn],vis[maxn];
ll phi[maxn],miu[maxn];
map<ll,ll>Phi,Miu;
inline void read(ll &x) {
x=0;
ll p=1;
char c=getchar();
while (!isdigit(c)) {if (c=='-') p=-1; c=getchar();}
while (isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(c-'0'); c=getchar();}
x*=p;
}
inline void init() {
miu[1]=1; phi[1]=1;
For (i,2,maxx) {
if (!vis[i]) {
p[++N]=i; miu[i]=-1; phi[i]=i-1;
}
For (j,1,N) {
ll k=i*p[j];
if (k>maxx) break;
vis[k]=1;
if (i%p[j]==0) {
miu[k]=0; phi[k]=phi[i]*p[j];
break;
}
else {
miu[k]=-miu[i]; phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
}
For (i,1,maxx) {
phi[i]=phi[i-1]+phi[i];
miu[i]=miu[i-1]+miu[i];
}
}
node solve(ll n) {
if (n<=maxx) return (node){phi[n],miu[n]};
if (Phi[n]) return (node){Phi[n],Miu[n]};
ll ans1=n*(n+1)/2,ans2=1;
for (ll i=2,nxt=1;i<=n;i=nxt+1) {
node anss=solve(n/i);
nxt=(n/(n/i));
ans1-=(nxt-i+1)*anss.phi; ans2-=(nxt-i+1)*anss.miu;
}
Phi[n]=ans1; Miu[n]=ans2;
return (node){ans1,ans2};
}
int main() {
init();
ll tt; read(tt);
while (tt--) {
ll n; read(n);
node ans=solve(n);
printf("%lld %lld
",ans.phi,ans.miu);
}
return 0;
}