斯特林数

斯特林数（Stirling）

目录

• 斯特林数（Stirling）
  • （一）第一类斯特林数[]
    • 1.定义
    • 2.公式
    • 3.数值表
  • （二）第二类斯特林数{}
    • 1.定义
    • 2.公式
    • 3.数值表
  • （三）联系
  • （四）应用
    • 1.上升幂与下降幂
  • （五）习题
    • 1.bzoj4555
  • （六）附录

这篇写还行，阅读时要注意，里面有很多的错误

5.6Stirling数

当然，最详细的，在(ll)具体数学(gg)里面

（一）第一类斯特林数[]

1.定义

记为 (S_{1}(n,k)) ，计算将 (n) 个元素排成 (k) 个轮换的方案数，其实也就是 (k) 个圆

2.公式

• (S_{1}(0,0)=1，S_{1}(n,0)=0)
• (S_{1}(n,1)=(n-1)! ， n>0) （有(n!)种排列，其中每一个元素都可以作为第一个元素）
• (S_{1}(n,n)=1)
• (S_{1}(n,n-1)=inom{n}{2})
• (S_{1}(n,k)=(n-1)S_{1}(n-1,k)+S_{1}(n-1,k-1))，其中 (n>0)
  将最后一个元素放入前(n-1)个元素分成的 (S_{1}(n-1,k)) 个轮换中，有 (n-1) 种方法
  为了证明这一点，首先可以验证恰好有 (j) 种方式把一个新元素放进 (j) 轮换中形成一个 (j+1) 轮换 （一个有 (j) 个元素的圆中，共有 (j) 个间隙），那么只要对所有的 (k) 个 (j) 求和，就可以得到有 (n-1) 种方式将第 (n) 个元素放入 (n-1) 个元素形成的 (k) 个轮换中
• $sum_{k=0}^{n}S_{1}(n,k)=n! $
  因为排列与轮换安排一一对应，所以 (S1(n,k)) 为 (n) 个元素恰好包含 (k) 个轮换的排列的个数，如果对于所有的 (k) 求和 (S1(n,k)) ，必定可以得到排列总数 (n!)

3.数值表

（二）第二类斯特林数{}

1.定义

记为 (S_{2}(n,k))，表示将 (n) 个元素划分为 (k) 个非空子集的方案数

2.公式

• (S_{2}(n,0)=0)，其中 (n>0)，而(S_{2}(0,0)=1)

• (S_{2}(n,1)=1)，其中 (n>0)，而(S_{2}(0,1)=0)

• (S_{2}(n,2)=2^{n-1}-1)，其中 (n>0)，而(S_{2}(0,2)=0)，对于每个数，有两种集合归属的情况，所以是 (2^n) ，去除掉两个全集的情况，就是 (2^n-2) ，又因为两个集合没有顺序的关系，所以要除以２

• (S_{2}(n,k)=kS_{2}(n-1,k)+S_{2}(n-1,k-1))，其中 (n>0)
  最后一个元素可以自己单独一个集合，也可以与前面的某个非空子集放在一起，有 (k) 中放法

• (S_{2}(n,n-1)=inom{n}{2})

• (S_{2}(n,n)=1)

• 然后还有一个很重要的式子：原因详见百度百科

  [m!S_{2}(n,m)=sum_{k=0}^{m}(-1)^kC(m,k)(m-k)^n ]

(m!S_{2}(n,m)) 表示将(n)个不同的球放入(m)个编号不同的盒子中，使得没有一个盒子是空的的方案数。然后后面的式子就是一个组合数形式的容斥原理的简单应用。

注意到这个式子是一个卷积的形式，所以我们可以利用NTT在(O(nlog n))的复杂度内，预处理出所有的(S(n,i),1leqslant i leqslant n)。为什么这个式子可以NTT呢？好像不太明显，我们把组合数拆开，原式化为：

[S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kfrac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n ]

整理一下，就可以变成：

[S(n,m)=sum_{k=0}^{m}[frac{(-1)^k}{k!}] imes [frac{(m-k)^n}{(m-k)!}] ]

这下子，卷积的形式就很明显了，于是我们也就可以用NTT实现了。

code

3.数值表

（三）联系

• 轮换数大于等于子集数，即 (S_{1}(n,k)geqslant S_{2}(n,k))，(n,kgeqslant0)
• (S_{1}(n,n)=S_{2}(n,n)=1)
• (S_{1}(n,n-1)=S_{2}(n,n-1)=inom{n}{2})
• (sum_{k=0}^{n}S_{1}(n,k)=n!) ，排列与轮换一一对应
• 反转公式：(sum_{k}S_{1}(n,k)S_{2}(k,m)(-1)^{n-k}=[m=n])
• 反转公式：(sum_{k}S_{2}(n,k)S_{1}(k,m)(-1)^{n-k}=[m=n])

（四）应用

1.上升幂与下降幂

为了方便，我们定义

(leftlceil x ight ceil_{n}=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)) （上升幂）

(leftlfloor x ight floor_{n}=x(x-1)(x-2)...(x-n+1)) （下降幂）

那么，我们可以得到

• (x^{n}=sum_{k=0}^{n}S_{2}(n,k)leftlfloor x ight floor_{k})，(ngeqslant0)
• (x^{n}=sum_{k=0}^{n}S_{2}(n,k)(-1)^{n-k}leftlceil x ight ceil_{k})，(ngeqslant0)
• (leftlceil x ight ceil_{n}=sum_{k=0}^{n}S_{1}(n,k)x^{k})，(ngeqslant0)
• (leftlfloor x ight floor_{n}=sum_{k=0}^{n}S_{1}(n,k)(-1)^{n-k}x^{k})，(ngeqslant0)

另外，再拓展一点，对于(leftlfloor x ight floor_{k})有

[leftlfloor x ight floor_{k}=x*(x-1)*...*(x-k+1) ]

[=frac{x!}{(x-k)!}=C(x,k)*k! ]

那么，对于第一个式子，我们可以得到

[x^{n}=sum_{k=0}^{n}S_{2}(n,k)C(x,k)*k! ]

（五）习题

1.bzoj4555

求

[f(n)=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{i}S_{2}(i,j)*2^{j}*(j!) ]

解析：

这道题目与上面的例题没有很大的区别，推导过程也很容易，只是要注意函数的预处理部分那些较小的值

（六）附录

关于反转公式的证明

资料来自维基百科

设

[P(n)=displaystyle sum_k left[{n atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{n - k} = delta_{m n} ]

对于 (P(0)) 很显然

当 (n geq 0) 时，假设我们已经证出

[displaystyle forall j: 0 le j le r，displaystyle forall m in Z: sum_k left[{j atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{j - k} = delta_{m j} ]

那么，就需要证明

[displaystyle forall m in Z: sum_k left[{ {r + 1} atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r + 1 - k} = delta_{m left({r + 1} ight)} ]

证明：

[egin{align} &=displaystyle sum_k left[{ {r + 1} atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r + 1 - k} \ &=displaystyle sum_k left({left[{r atop k - 1} ight] + r left[{r atop k} ight]} ight) left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r + 1 - k}\ &=displaystyle sum_k left[{r atop k - 1} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r + 1 - k} - r sum_k left[{r atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r - k}\ &=displaystyle sum_k left[{r atop k - 1} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{r + 1 - k} - r delta_{m r}\ &=displaystyle sum_k left[{r atop k - 1} ight] left({left{ {k - 1 atop m - 1} ight} + m left{ {k - 1 atop m} ight} } ight) left({-1} ight)^{r + 1 - k} - r delta_{r m}\ &=displaystyle sum_k left[{r atop k - 1} ight] left{ {k - 1 atop m - 1} ight} left({-1} ight)^{r - left({k - 1} ight)}\ &+ m sum_k left[{r atop k - 1} ight] left{ {k - 1 atop m} ight} left({-1} ight)^{r - left({k - 1} ight)} - r delta_{r m}\ &=displaystyle delta_{r left({m - 1} ight)} + m delta_{r m} - r delta_{r m}\ &=displaystyle delta_{m left({r + 1} ight)} + left({m - r} ight) delta_{r m}\ &=displaystyle delta_{m left({r + 1} ight)}\ end{align}]

所以

[displaystyle forall m, n in Z: sum_k left[{n atop k} ight] left{ {k atop m} ight} left({-1} ight)^{n - k} = delta_{m n} ]